Examkin

Question

Difficulty: HardÜslü İfadeler
25x+5x+125−x+5−x+1=15625 \frac{25^x + 5^x + 1}{25^{-x} + 5^{-x} + 1} = 15625
eşitliği veriliyor.

Buna göre, xx kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Answer
  4. D
    4
  5. E
    6

Answer

Eşitliği sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen kesirli ifadede payda düzenlendiğinde, payın 52x5^{2x}'e bölünmüş hali olduğu görülür. Ters çevirip çarpma işlemi yapıldığında paydaki ve paydadaki uzun terimler birbirini götürür ve geriye sadece 52x5^{2x} kalır. 1562515625 sayısı 565^6'ya eşit olduğundan, 2x=62x=6 denklemi elde edilir ve buradan x=3x=3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemdeki 25x25^x ve 25−x25^{-x} ifadelerini 5 tabanında yazalım.
(52)x+5x+1(52)−x+5−x+1=52x+5x+15−2x+5−x+1 \frac{(5^2)^x + 5^x + 1}{(5^2)^{-x} + 5^{-x} + 1} = \frac{5^{2x} + 5^x + 1}{5^{-2x} + 5^{-x} + 1}
Tüm terimleri aynı tabanda (5) ifade etmek, sadeleştirmeyi görmeyi kolaylaştırır.
2
Paydadaki negatif üslü ifadeleri kesirli olarak yazıp payda eşitleyelim.
5−2x+5−x+1=152x+15x+1=1+5x+52x52x 5^{-2x} + 5^{-x} + 1 = \frac{1}{5^{2x}} + \frac{1}{5^x} + 1 = \frac{1 + 5^x + 5^{2x}}{5^{2x}}
Negatif üslerden kurtulup ifadeyi düzenlemek, pay ile olan ilişkiyi ortaya çıkarır.
3
Bulduğumuz ifadeyi ana denklemde yerine koyup ters çevirip çarpma işlemi yapalım.
52x+5x+11+5x+52x52x=(52x+5x+1)⋅52x1+5x+52x=52x \frac{5^{2x} + 5^x + 1}{\frac{1 + 5^x + 5^{2x}}{5^{2x}}} = (5^{2x} + 5^x + 1) \cdot \frac{5^{2x}}{1 + 5^x + 5^{2x}} = 5^{2x}
Kesirlerde bölme işlemi yapılırken ikinci kesir ters çevrilip çarpılır; bu da ortak parantezlerin sadeleşmesini sağlar.
4
Sadeleşmiş ifadeyi verilen sayıya eşitleyip x'i bulalım.
52x=15625⇒52x=56⇒2x=6⇒x=3 5^{2x} = 15625 \Rightarrow 5^{2x} = 5^6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3
Üslü denklemlerde tabanlar eşitse üsler de eşittir kuralı uygulanır (15625=5615625 = 5^6).

Key Concept

Negatif üs içeren rasyonel ifadelerde, pay ve payda arasındaki kat ilişkisini görmek için payda eşitlenerek ortak çarpan parantezine alınır.

Hints

1
Paydadaki 25−x25^{-x} ve 5−x5^{-x} ifadelerini 125x\frac{1}{25^x} ve 15x\frac{1}{5^x} şeklinde yazarak payda eşitlemeyi deneyin.
2
Paydayı düzenlediğinizde 1+5x+25x25x\frac{1 + 5^x + 25^x}{25^x} ifadesini elde edeceksiniz. Şimdi bölme işlemini yapın.
3
Bölme işleminden sonra elinizde sadece 25x25^x kalacak. Bunu 15625'e eşitleyerek x'i bulun.

Practice More

Benzer bir sadeleştirme sorusunu 3x3^x tabanıyla veya harfli ifadelerle (a,ba, b) çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

a=5xa = 5^x dönüşümü yaparsanız ifade a2+a+1a−2+a−1+1\frac{a^2+a+1}{a^{-2}+a^{-1}+1} haline gelir. Bu yapının değeri her zaman en büyük dereceli terime (a2a^2) eşittir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic