Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜslü İfadeler
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
12x=27 12^x = 27
6y=16 6^y = 16
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, xy+4x+3yxy + 4x + 3y ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    11
  3. 12Answer
  4. D
    13
  5. E
    14

Answer

İfadenin değeri 12'dir.
Verilen eşitliklerde tabanlar asal çarpanlarına ayrılarak 2 ve 3 tabanları arasında geçiş yapılmıştır. 12x=2712^x=27 eşitliğinden 22 tabanı 33 cinsinden, 6y=166^y=16 eşitliğinden ise 33 tabanı 22 cinsinden yazılmıştır. Elde edilen ifadeler birbirinin yerine konularak (substitüsyon) üsler arasında cebirsel bir bağ kurulmuş ve sorulan xy+4x+3yxy + 4x + 3y ifadesinin değeri doğrudan 12 olarak bulunmuştur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen üslü ifadeleri asal çarpanlarına ayırarak düzenle.
12x=(22⋅3)x=22x⋅3x=27=3312^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x = 27 = 3^3 ve 6y=(2⋅3)y=2y⋅3y=16=246^y = (2 \cdot 3)^y = 2^y \cdot 3^y = 16 = 2^4
Tabanları ortak olan sayılar arasında ilişki kurmak için asal çarpanlara ayırma gereklidir.
2
Her iki eşitlikte xx ve yy türünden birbiri cinsinden ifade edilebilecek ortak tabanları yalnız bırak.
Birinci denklemden 22x=33−x⇒2=33−x2x2^{2x} = 3^{3-x} \Rightarrow 2 = 3^{\frac{3-x}{2x}}. İkinci denklemden 3y=24−y⇒3=24−yy3^y = 2^{4-y} \Rightarrow 3 = 2^{\frac{4-y}{y}}.
Ortak tabanlar (2 ve 3) üzerinden iki değişkeni birbirine bağlamak için dönüştürme yapılır.
3
İkinci denklemde elde edilen 33 değerini, birinci denklemdeki yerine yaz.
2=(24−yy)3−x2x⇒21=2(4−y)(3−x)2xy2 = (2^{\frac{4-y}{y}})^{\frac{3-x}{2x}} \Rightarrow 2^1 = 2^{\frac{(4-y)(3-x)}{2xy}}
Tabanları eşitleyerek üsler arasında doğrudan bir eşitlik kurmak.
4
Üsleri eşitle ve içler dışlar çarpımı yaparak istenen ifadeyi elde et.
1=12−4x−3y+xy2xy⇒2xy=12−4x−3y+xy⇒xy+4x+3y=121 = \frac{12 - 4x - 3y + xy}{2xy} \Rightarrow 2xy = 12 - 4x - 3y + xy \Rightarrow xy + 4x + 3y = 12
Cebirsel ifadeyi düzenleyerek soruda sorulan kalıbı ortaya çıkarmak.

Key Concept

Üslü denklemlerde taban değiştirme ve değişkenler arası ilişki kurma

Hints

1
1212 sayısını 22⋅32^2 \cdot 3 ve 66 sayısını 2⋅32 \cdot 3 şeklinde asal çarpanlarına ayırarak başlayın.
2
Birinci denklemden 22'yi 33 cinsinden veya ikinci denklemden 33'ü 22 cinsinden çekerek diğer denklemde yerine yazmayı deneyin.
3
2=33−x2x2 = 3^{\frac{3-x}{2x}} ve 3=24−yy3 = 2^{\frac{4-y}{y}} eşitliklerini kullanarak tabanları eşitleyin ve üsleri çarpın.

Practice More

Benzer yapıdaki ax=bya^x = b^y dönüşümlerini içeren logaritma-üslü sayı geçiş soruları çözülebilir.

Alternative Method

Her iki tarafın logaritması alınarak da çözülebilir: x(ln⁡12)=ln⁡27x(\ln 12) = \ln 27 ve y(ln⁡6)=ln⁡16y(\ln 6) = \ln 16. Buradan xx ve yy çekilip istenen ifadede yerine yazıldığında, logaritma kuralları sadeleşerek yine 12 sonucunu verir.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic