E evrensel kümesinin alt kümeleri olan A, B ve C kümeleri arasında A \subset B ve B \cap C… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$E$ evrensel kümesinin alt kümeleri olan $A$ , $B$ ve $C$ kümeleri arasında $A \subset B$ ve $B \cap C = \emptyset$ bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre,

[ (B \setminus A)' \cap (B \cup C) ] \setminus C

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

AAnswer
B
B \setminus A
C
C
D
\emptyset
E
E

Answer

İfadenin en sade hali

A

kümesidir.

Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; ilk kısım

B' \cup A

olur. Bu ifadenin

(B \cup C)

ile kesişimi,

A

C

kümelerinin birleşimini (

A \cup C

) verir. Son olarak bu birleşimden

C

kümesi çıkarıldığında geriye sadece

A

kümesi kalır.

Step-by-Step Solution

(B \setminus A)'

ifadesini düzenle.

B \setminus A = B \cap A'

olduğu için,

(B \cap A')' = B' \cup A

elde edilir.

De Morgan kuralı ve fark işleminin tanımı uygulanır.

Bu ifadeyi

(B \cup C)

ile kesiştir:

(B' \cup A) \cap (B \cup C)

Dağılma özelliği uygulanırsa:

(B' \cap B) \cup (B' \cap C) \cup (A \cap B) \cup (A \cap C)

Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılır.

Elde edilen terimleri verilen bağıntılara (

A \subset B

B \cap C = \emptyset

) göre sadeleştir.

B' \cap B = \emptyset

B \cap C = \emptyset

olduğu için

C \subset B'

olur, yani

B' \cap C = C

A \subset B

olduğu için

A \cap B = A

A \subset B

B \cap C = \emptyset

olduğu için

A \cap C = \emptyset

. Sonuç:

\emptyset \cup C \cup A \cup \emptyset = A \cup C

Alt küme ve ayrık küme tanımları kullanılarak terimler basitleştirilir.

Son olarak

C

kümesini fark işlemiyle çıkar:

(A \cup C) \setminus C

(A \cup C) \setminus C = A \setminus C

olur.

A

C

ayrık olduğu için (

A \cap C = \emptyset

) sonuç

A

kümesidir.

Birleşimden bir bileşenin çıkarılması, diğer bileşenin (eğer ayrıklarsa) kalmasını sağlar.

Key Concept

Kümelerde İşlemler ve De Morgan Kuralları

Hints

Önce

(B \setminus A)'

ifadesini De Morgan kurallarını kullanarak açın ve

B' \cup A

olduğunu görün.

B \cap C = \emptyset

olduğu için

C

'nin

B

'nin tümleyeninin (

B'

) alt kümesi olduğunu hatırlayın (

C \subset B'

A kümesinin B'nin içinde olduğunu (

A \subset B

) ve C ile ayrık olduğunu kullanarak dağılma işlemini yapın. Sonuçta

(A \cup C) \setminus C

kalacaktır.

Practice More

Benzer mantıkla

(A \setminus B)' \setminus (A \cap B')

ifadesini sadeleştiren bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek çözmek:

A

kümesini

B

'nin içine çizin.

C

kümesini ise

B

'den tamamen ayrı (ayrık) çizin.

(B \setminus A)

bölgesi

B

'nin içinde ama

A

'nın dışında kalan halkadır. Bunun tümleyeni

(B \setminus A)'

, bu halkanın dışındaki her yerdir (yani

A

ve tüm

B

dışı). Bu alan ile

(B \cup C)

'yi kesiştirirseniz elinizde

A

C

kalır. Sonra

C

'yi çıkarırsanız geriye sadece

A

kalır.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic