Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde, her nn pozitif tam sayısı için AnA_n kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

An={x∈Z∣x,n sayısının tam katıdır} A_n = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x, n \text{ sayısının tam katıdır} \}

Buna göre, bu kümelerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    A3∪A4=A12A_3 \cup A_4 = A_{12}
  2. B
    A6⊆A12A_6 \subseteq A_{12}
  3. C
    A4∩A6=A24A_4 \cap A_6 = A_{24}
  4. A12∩A18=A36A_{12} \cap A_{18} = A_{36}Answer
  5. E
    A5∖A10=∅A_5 \setminus A_{10} = \emptyset

Answer

İki kümenin kesişimini ifade eden A12∩A18=A36A_{12} \cap A_{18} = A_{36} eşitliği doğrudur.
Verilen tanıma göre AnA_n kümesi nn'nin katlarını içerir. İki kümenin kesişimi (Aa∩AbA_a \cap A_b), hem aa'nın hem de bb'nin katı olan sayıları, yani EKOK(a,ba,b)'nin katlarını içerir. 1212 ve 1818'in en küçük ortak katı 3636 olduğundan, A12∩A18A_{12} \cap A_{18} kümesi 3636'nın katlarına (A36A_{36}) eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Küme tanımını analiz et.
AnA_n, nn sayısının tam katlarından oluşan kümedir. Örneğin A3={...,−3,0,3,6,...}A_3 = \{..., -3, 0, 3, 6, ...\}.
Sorudaki matematiksel notasyonu somutlaştırmak için.
2
Kesişim (∩\cap) işleminin mantığını bu tanıma uygula.
x∈Aa∩Abx \in A_a \cap A_b olması için, xx'in hem aa'nın hem de bb'nin katı olması gerekir. Bu da xx'in EKOK(a,ba,b)'nin katı olması demektir.
Ortak katların en küçüğü (EKOK) mantığını kullanarak kesişim kümesini bulmak için.
3
D seçeneğini kontrol et: A12∩A18A_{12} \cap A_{18}.
EKOK(12, 18) hesaplanır. 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3, 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2. EKOK = 22⋅32=362^2 \cdot 3^2 = 36. Yani kesişim kümesi A36A_{36}'dır.
Verilen seçeneğin doğruluğunu matematiksel olarak kanıtlamak için.
4
Diğer seçeneklerdeki hataları belirle.
A şıkkı birleşim/kesişim hatasıdır. B şıkkı ters alt küme mantığıdır. C şıkkı EKOK yerine çarpma hatasıdır.
Yanlış seçenekleri eleyerek sağlamasını yapmak için.

Key Concept

Kümelerde İşlemler ve Bölünebilme İlişkisi

Hints

1
Kümelerin elemanlarını düşünün: A3={3,6,9,12,...}A_3 = \{3, 6, 9, 12, ...\}, A4={4,8,12,16,...}A_4 = \{4, 8, 12, 16, ...\}.
2
İki kümenin kesişimi (∩\cap), her iki sayının da ortak katı olan sayıları içerir.
3
Ortak katların en küçüğünü (EKOK) bulun. Aa∩Ab=AEKOK(a,b)A_a \cap A_b = A_{\text{EKOK}(a,b)} kuralını hatırlayın.

Practice More

EKOK ve EBOB kavramlarının kümelerle ilişkisini inceleyen problemler çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic