Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A={x∈Z:5x+18x+2∈Z}A = \left\{ x \in \mathbb{Z} : \frac{5x + 18}{x + 2} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

  1. -16Answer
  2. B
    -8
  3. C
    0
  4. D
    7
  5. E
    15

Answer

-16 sonucuna ulaşılır.
Verilen küme tanımına göre, xx bir tam sayıdır ve 5x+18x+2\frac{5x+18}{x+2} ifadesi de bir tam sayı olmalıdır. Bu kesir 5+8x+25 + \frac{8}{x+2} şeklinde yazılabilir. Sonucun tam sayı olması için x+2x+2'nin 8'i tam bölmesi gerekir. 8'in tam sayı bölenleri 8 tanedir: ±1,±2,±4,±8\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8. Her bir bölen (dd) için x=d−2x = d - 2 olur. Tüm xx değerlerinin toplamı istendiğinde, ∑(d−2)=∑d−∑2\sum (d-2) = \sum d - \sum 2 işlemi yapılır. Simetrik oldukları için ∑d=0\sum d = 0 olur. 8 adet bölen olduğundan toplam 0−(8×2)=−160 - (8 \times 2) = -16 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi tam sayılı kesre çevirmek için polinom bölmesi veya düzenleme yap
5x+18x+2=5(x+2)+8x+2=5+8x+2\frac{5x + 18}{x + 2} = \frac{5(x + 2) + 8}{x + 2} = 5 + \frac{8}{x + 2}
İfadenin tam sayı olması için 8x+2\frac{8}{x+2} kısmının tam sayı olması gerektiğini görmek gerekir.
2
Kesrin tam sayı olması için paydanın alabileceği değerleri belirle
x+2x + 2 ifadesi 88'in tam sayı bölenleri olmalıdır. Bölenler: {−8,−4,−2,−1,1,2,4,8}\{-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8\}
x∈Zx \in \mathbb{Z} olduğu için bölenler hem negatif hem pozitif olabilir.
3
Her bir bölen değeri için xx elemanlarını bul (x=bo¨len−2x = \text{bölen} - 2)
xx değerleri: {−10,−6,−4,−3,−1,0,2,6}\{-10, -6, -4, -3, -1, 0, 2, 6\}
Kümenin elemanları xx'lerdir, bölenler değildir.
4
Bulunan xx değerlerini topla
(−10)+(−6)+(−4)+(−3)+(−1)+0+2+6=−16(-10) + (-6) + (-4) + (-3) + (-1) + 0 + 2 + 6 = -16
Soruda kümenin elemanlarının toplamı istenmiştir.

Key Concept

Ortak Özellik Yöntemi ile Tanımlanan Kümeler

Hints

1
İfadeyi A+Bx+2A + \frac{B}{x+2} şeklinde ayırarak x+2x+2'nin hangi sayıları bölmesi gerektiğini bulun.
2
8 sayısının tam sayı bölenlerini düşünürken negatif sayıları unutmayın.
3
Bölenlerin toplamı 0 olsa da, her bir xx değeri için 2 çıkarmanız gerekecektir (x=bo¨len−2x = \text{bölen} - 2).

Practice More

Benzer mantıkla, paydada x2x^2 içeren veya doğal sayılar kümesi (N\mathbb{N}) üzerinde tanımlı versiyonlarını çözün.

Alternative Method

Toplam formülü yöntemi: x+2=dx+2=d dönüşümü yapılırsa, x=d−2x=d-2 olur. İstenen toplam ∑d∣8(d−2)=∑d∣8d−∑d∣82\sum_{d|8} (d-2) = \sum_{d|8} d - \sum_{d|8} 2 şeklindedir. ∑d=0\sum d = 0 olduğu için sonuç sadece −2×(bo¨len sayısı)-2 \times (\text{bölen sayısı}) olur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic