Tam sayılar kümesi (\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı A ve B kümeleri aşağıdaki gibi verilmişti… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 3k + 1, \, k \in \mathbb{Z} \}

B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 4m + 2, \, m \in \mathbb{Z} \}

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A
{ x ∈ ℤ | x = 7n + 3, n ∈ ℤ }
B
{ x ∈ ℤ | x = 12n + 1, n ∈ ℤ }
C
{ x ∈ ℤ | x = 12n + 2, n ∈ ℤ }
{ x ∈ ℤ | x = 12n + 10, n ∈ ℤ }Answer
E
{ x ∈ ℤ | x = 12n + 6, n ∈ ℤ }

Answer

A ve B kümelerinin kesişimi, 12 ile bölümünden 10 kalanını veren tam sayılar kümesidir.

Kesişim kümesindeki bir eleman hem

x = 3k + 1

hem de

x = 4m + 2

koşulunu sağlamalıdır. Bu, sayının 3 ile bölümünden 1, 4 ile bölümünden 2 kalanı vermesi demektir. Bu şartı sağlayan ilk pozitif sayı 10'dur (

10 = 3\cdot3+1

10 = 4\cdot2+2

). Kesişimin periyodu ise 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12'dir. Dolayısıyla genel ifade

12n + 10

olur.

Step-by-Step Solution

Kümelerin eleman yapısını analiz et

A kümesi 3'e bölündüğünde 1 kalanını, B kümesi 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren sayılardan oluşur.

Kesişim kümesindeki bir x sayısı her iki koşulu da (x ≡ 1 mod 3 ve x ≡ 2 mod 4) sağlamalıdır.

Denkliği sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bul

x = 10 sayısı; 10 = 3(3)+1 ve 10 = 4(2)+2 koşullarını sağlar.

Ortak elemanların oluşturduğu dizinin başlangıç noktasını belirlemek gerekir.

Genel terimi (periyodu) belirle

Periyot EKOK(3, 4) = 12'dir. Genel ifade x = 12n + 10 olur.

İki aritmetik dizinin ortak elemanları, artış miktarlarının EKOK'u kadar aralıklarla tekrar eder.

Key Concept

Periyodik Kümelerin Kesişimi (Modüler Aritmetik)

Hints

Kesişim kümesindeki bir sayı, hem A kümesinin hem de B kümesinin kuralına uymalıdır. Birkaç küçük sayı yazarak (örneğin 1 ile 20 arası) her iki kümede de bulunan sayıları tespit etmeyi deneyin.

Sayının artış miktarı (periyodu), A'nın artış miktarı (3) ve B'nin artış miktarının (4) En Küçük Ortak Katı (EKOK) olmalıdır.

Hem 3'e bölündüğünde 1 kalanını, hem de 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük pozitif sayı 10'dur. Artış miktarı ise EKOK(3,4)=12'dir. Genel formül bu iki bilgiyi birleştirir.

Practice More

Benzer bir mantıkla '3 ile bölündüğünde 1, 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar' kümesini ifade etmeyi deneyin.

Alternative Method

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki ifadelerden n=0 veya n=1 için değerler üretip, bu değerlerin A ve B kümelerinin tanımlarına uyup uymadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin, doğru cevaptaki n=0 için x=10 değeri; 10 = 3(3)+1 (A'ya uyar) ve 10 = 4(2)+2 (B'ye uyar) kontrolü yapılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic