Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!−y!y!=119 \frac{x! - y!}{y!} = 119
eşitliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) sıralı ikilisi vardır?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Answer
  4. D
    5
  5. E
    6

Answer

4 farklı (x,y) ikilisi vardır
Eşitlik x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 haline getirildiğinde, bu ifadenin xx'ten y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımı olduğu görülür. Çarpımları 120 eden ardışık sayı grupları şunlardır:
1) Sadece 120 (x=120,y=119x=120, y=119)
2) 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4 (x=6,y=3x=6, y=3)
3) 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 (x=5,y=1x=5, y=1)
4) 5⋅4⋅3⋅2⋅15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 (x=5,y=0x=5, y=0)
Toplamda 4 farklı ikili vardır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenle
x!y!−1=119  ⟹  x!y!=120 \frac{x!}{y!} - 1 = 119 \implies \frac{x!}{y!} = 120
Faktöriyel ifadesini yalnız bırakarak sayısal karşılığını bulmak için.
2
Faktöriyel bölme işleminin anlamını yorumla
x!y!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)=120 \frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) = 120
Bu ifade, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımının 120 olduğunu gösterir.
3
Ardışık sayıların çarpımı 120 olan durumları analiz et
Durumları inceleyelim:
1. Tek sayı: 120120. Burada x=120x=120, y=119y=119.
2. İki ardışık sayı: n(n+1)=120n(n+1)=120. 10⋅11=11010 \cdot 11 = 110, 11⋅12=13211 \cdot 12 = 132. (Çözüm yok)
3. Üç ardışık sayı: 4⋅5⋅6=1204 \cdot 5 \cdot 6 = 120. Burada en büyük sayı x=6x=6, en küçük çarpandan bir eksiği y=3y=3.
4. Dört ardışık sayı: 2⋅3⋅4⋅5=1202 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. Burada x=5x=5, y=1y=1.
5. Beş ardışık sayı: 1⋅2⋅3⋅4⋅5=1201 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. Burada x=5x=5, y=0y=0 (Çünkü 0!=10!=1).
120 sayısını veren tüm ardışık çarpan kombinasyonlarını bulmak için.
4
Bulunan çözüm kümelerini listele
Çözüm ikilileri (x,y)(x,y): (120,119)(120, 119), (6,3)(6, 3), (5,1)(5, 1), (5,0)(5, 0).
Toplam çözüm sayısını belirlemek için.

Key Concept

Ardışık Çarpanlar ve Faktöriyel Tanımı

Hints

1
Eşitliği x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 şeklinde düzenleyerek sadeleştirme yapın.
2
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, xx sayısından geriye doğru ardışık sayıların çarpımıdır. Hangi ardışık sayıların çarpımı 120 eder?
3
120=5!120 = 5! olduğu için x=5x=5 olabilir. Ayrıca 120=6⋅5⋅4120 = 6 \cdot 5 \cdot 4 olduğunu ve 120=120120 = 120 olduğunu da düşünün. 0! değerini unutmayın.

Practice More

Benzer mantıkla x!y!=24\frac{x!}{y!} = 24 eşitliğini sağlayan kaç ikili olduğunu araştırın.

Alternative Method

120 sayısının çarpanlarını yazıp ardışık grupları manuel olarak kontrol etmek: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12... Buradan 4-5-6 ve 2-3-4-5 grupları görülebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic