Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel (Temel)
(n+1)!+n!(n+1)!−n!=43 \frac{(n+1)! + n!}{(n+1)! - n!} = \frac{4}{3}

eşitliğini sağlayan nn doğal sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 6Answer
  4. D
    8
  5. E
    10

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen eşitlikte faktöriyel tanımı gereği (n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! dönüşümü yapılır. İfade n!(n+1)+n!n!(n+1)−n!\frac{n!(n+1) + n!}{n!(n+1) - n!} haline gelir. Pay ve payda n!n! parantezine alındığında n!(n+2)n!(n)\frac{n!(n+2)}{n!(n)} elde edilir. n!n! ler sadeleşince n+2n=43\frac{n+2}{n} = \frac{4}{3} denklemi kalır. İçler dışlar çarpımı ile 3n+6=4n3n+6=4n ve buradan n=6n=6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan n! cinsinden ifade etmek için (n+1)! ifadesini (n+1).n! şeklinde aç.
(n+1)⋅n!+n!(n+1)⋅n!−n!=43 \frac{(n+1) \cdot n! + n!}{(n+1) \cdot n! - n!} = \frac{4}{3}
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimlerin ortak çarpan parantezine alınması gerekir.
2
Payı ve paydayı n! ortak parantezine al.
n!(n+1+1)n!(n+1−1)=43 \frac{n!(n + 1 + 1)}{n!(n + 1 - 1)} = \frac{4}{3}
Ortak çarpan olan n! ifadelerini sadeleştirmek için gruplandırma yapılır.
3
n! ifadelerini sadeleştir ve parantez içindeki işlemleri yap.
n+2n=43 \frac{n+2}{n} = \frac{4}{3}
Kesrin pay ve paydasındaki aynı çarpanlar birbirini götürür.
4
Elde edilen basit denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yap.
3(n+2)=4n  ⟹  3n+6=4n 3(n+2) = 4n \implies 3n + 6 = 4n
Bilinmeyen n değerini bulmak için doğrusal denklem çözülür.
5
n değerini yalnız bırak.
6=4n−3n  ⟹  n=6 6 = 4n - 3n \implies n = 6
Denklemin çözümü tamamlanır.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme

Hints

1
Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde, büyük olan faktöriyeli küçük olan faktöriyele benzeterek açmalısınız.
2
(n+1)!(n+1)! ifadesini (n+1)⋅n!(n+1) \cdot n! şeklinde yazıp, hem payı hem de paydayı n!n! ortak parantezine almayı deneyin.
3
İfadeyi sadeleştirdiğinizde n+2n=43\frac{n+2}{n} = \frac{4}{3} denklemini elde edeceksiniz.

Practice More

Benzer mantıkla, iki bilinmeyenli faktöriyel oranları (x!/y! = 30 gibi) üzerine çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardaki değerleri n yerine koyarak deneme yapılabilir. Örneğin n=6 için: (7!+6!)/(7!-6!) = 6!(7+1)/6!(7-1) = 8/6 = 4/3 eşitliği sağlar.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic