Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

Yarıçapı 1212 birim olan OO merkezli bir daireden, merkez açısının ölçüsü 60∘60^{\circ} olan bir daire dilimi kesilip çıkarılıyor. Elde edilen bu daire diliminin içine; dilimin her iki yarıçapına ve yayına teğet olacak şekilde MM merkezli en büyük çember yerleştiriliyor. Buna göre, MM merkezli çemberin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    9π9\pi
  2. B
    12π12\pi
  3. 16π16\piAnswer
  4. D
    24π24\pi
  5. E
    36π36\pi

Answer

16π16\pi birimkare
Çemberin merkezi ile dilimin merkezi birleştirildiğinde oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeninden çemberin yarıçapı (rr), dilimin yarıçapının (RR) üçte biri (r=R/3r = R/3) olarak bulunur. R=12R=12 ise r=4r=4 olur ve alan 16π16\pi hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Şekli zihinde canlandırarak merkezleri birleştiren doğruyu çiz.
OO noktası (dilim merkezi), MM noktası (çember merkezi) ve TT noktası (yay üzerindeki teğet noktası) doğrusaldır.
Teğet çemberlerin merkezleri ve teğet noktaları aynı doğru üzerindedir.
2
MM merkezinden teğet noktasına dik indirerek oluşan dik üçgeni incele.
OMOM doğrusu açıortaydır, dolayısıyla 60∘60^{\circ}'lik açıyı 30∘−30∘30^{\circ}-30^{\circ} böler. Oluşan dik üçgende hipotenüs ∣OM∣=2r|OM| = 2r olur (sin⁡(30∘)=r∣OM∣\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{|OM|} olduğu için).
30−60−9030-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30∘30^{\circ}'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.
3
Büyük dairenin yarıçapı (RR) ile küçük çemberin yarıçapı (rr) arasındaki bağıntıyı kur.
R=∣OM∣+r=2r+r=3rR = |OM| + r = 2r + r = 3r. Soruda R=12R=12 verildiğinden, 12=3r12 = 3r ise r=4r = 4 birim bulunur.
Dilimin yarıçapı, merkezden yaya kadar olan toplam mesafedir.
4
Çemberin alanını hesapla.
Alan =πr2=π(42)=16π= \pi r^2 = \pi (4^2) = 16\pi birimkare.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile bulunur.

Key Concept

Bir açıya ve bir yaya teğet olan çember problemlerinde, merkezleri birleştiren doğrunun açıortay olduğu ve oluşan dik üçgen özelliklerinin kullanılması gerekir.

Hints

1
Dilimin merkezi OO ile çemberin merkezi MM'yi birleştiren bir doğru çizmeyi dene. Bu doğru açıortaydır.
2
Oluşan dik üçgende 30∘30^{\circ}'nin karşısındaki kenar rr ise, hipotenüs (OMOM uzunluğu) kaç rr olur?
3
Dilimin yarıçapı R=12R=12, aynı zamanda ∣OM∣+r|OM| + r toplamına eşittir. ∣OM∣=2r|OM|=2r olduğuna göre 3r=123r=12 eşitliğini kullanabilirsin.

Practice More

Benzer bir soruyu 90∘90^{\circ}'lik çeyrek daire dilimi için çözerek RR ve rr arasındaki ilişkinin nasıl değiştiğini (R=r(1+2)R = r(1+\sqrt{2})) inceleyiniz.

Alternative Method

Benzerlik oranı kullanarak da çözülebilir ancak dik üçgen yöntemi en pratik olanıdır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic