Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
n!+(n+1)!+(n+2)!n!+(n+1)!=3n−12 \frac{n! + (n+1)! + (n+2)!}{n! + (n+1)!} = 3n - 12
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Answer
  4. D
    8
  5. E
    9

Answer

Eşitliği sağlayan nn değeri 7'dir.
Verilen kesirli ifade sadeleştirildiğinde n+2n+2 sonucu elde edilir. Bu ifade 3n−123n-12'ye eşitlendiğinde n=7n=7 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine (n!n!) alarak düzenle.
Pay: n![1+(n+1)+(n+1)(n+2)]n![1 + (n+1) + (n+1)(n+2)]
Payda: n![1+(n+1)]n![1 + (n+1)]
Faktöriyel içeren toplama işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için ifadeler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
2
Parantez içindeki cebirsel ifadeleri düzenle ve tam kare özdeşliğini fark et.
Pay: n![1+n+1+n2+3n+2]=n![n2+4n+4]=n!(n+2)2n![1 + n + 1 + n^2 + 3n + 2] = n![n^2 + 4n + 4] = n!(n+2)^2
Payda: n![n+2]n![n+2]
n2+4n+4n^2 + 4n + 4 ifadesi (n+2)2(n+2)^2 tam karesidir.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştir.
n!(n+2)2n!(n+2)=n+2 \frac{n!(n+2)^2}{n!(n+2)} = n+2
Pay ve paydadaki n!n! ve (n+2)(n+2) çarpanları birbirini götürür.
4
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen eşitliğin sağ tarafına eşitle ve denklemi çöz.
n+2=3n−12  ⟹  14=2n  ⟹  n=7n + 2 = 3n - 12 \implies 14 = 2n \implies n = 7
Birinci dereceden denklem çözümü yapılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve cebirsel sadeleştirme.

Hints

1
Pay ve paydadaki tüm terimleri, en küçük faktöriyel olan n!n! parantezine almayı deneyin.
2
n!n! parantezine aldıktan sonra parantez içindeki ifadeleri açarak toplama işlemini yapın. Pay kısmında (n+2)2(n+2)^2 ifadesini görmeye çalışın.

Practice More

Benzer bir sadeleştirme sorusu olarak: (n!)2+(n+1)!n!=17\frac{(n!)^2 + (n+1)!}{n!} = 17 denklemini sağlayan n değerini bulunuz.

Alternative Method

Şıklardan giderek nn yerine değerler verilebilir. Ancak bu yöntem faktöriyel hesaplamaları büyüyeceği için zaman alıcı olabilir. Örneğin n=5n=5 için payda 5!+6!=120+720=8405! + 6! = 120 + 720 = 840 gibi büyük sayılarla uğraşmayı gerektirir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic