Examkin

Question

Difficulty: Very hardİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bir kenar uzunluğu 3 birim olan ABCABC eşkenar üçgeni, [AB][AB] kenarı üzerindeki bir DD noktası ve [AC][AC] kenarı üzerindeki bir EE noktası boyunca katlanıyor. Bu katlama işlemi sonucunda AA köşesi, [BC][BC] kenarı üzerindeki A′A' noktası ile çakışmaktadır.

∣BA′∣=1|BA'| = 1 birim olduğuna göre, ∣BD∣|BD| uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    32\frac{3}{2}
  2. 85\frac{8}{5}Answer
  3. C
    53\frac{5}{3}
  4. D
    74\frac{7}{4}
  5. E
    1

Answer

Doğru cevap 85\frac{8}{5} birimdir.
Sorunun çözümü, katlama sonucu oluşan açı ilişkilerini fark etmeye dayanır. AA köşesi 60∘60^\circ olduğu için katlanan A′A' köşesindeki açı da 60∘60^\circ olur. Bu durum, BCBC kenarı üzerindeki A′A' noktasının sağında ve solunda kalan üçgenlerin açılarının birbirini tamamlamasını sağlar. △BDA′\triangle BDA' ve △CA′E\triangle CA'E üçgenleri arasında kurulan benzerlik (60∘60^\circ'lerin karşısı değil, 120∘−α120^\circ-\alpha ve α\alpha açılarının karşısı) ve kenar uzunlukları denklemi (xy=2xy=2 ve 3y−xy=3−y3y-xy=3-y) çözüldüğünde ∣BD∣=8/5|BD|=8/5 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşkenar üçgen ve katlama özelliklerini belirle
△ABC\triangle ABC eşkenar olduğu için m(B^)=m(C^)=60∘m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ. Katlama nedeniyle △ADE≅△A′DE\triangle ADE \cong \triangle A'DE, yani ∣AD∣=∣A′D∣|AD| = |A'D| ve m(DA′E^)=m(A^)=60∘m(\widehat{DA'E}) = m(\widehat{A}) = 60^\circ.
Geometrik şeklin temel açı özelliklerini ve katlamanın koruduğu uzunluk/açıları kullanmak için.
2
Oluşan alt üçgenler arasındaki benzerliği kur
BCBC doğrusu üzerinde 180∘180^\circ tamamlamadan: m(BA′D^)+60∘+m(CA′E^)=180∘m(\widehat{BA'D}) + 60^\circ + m(\widehat{CA'E}) = 180^\circ. Ayrıca △BDA′\triangle BDA' iç açılarından m(BA′D^)+60∘+m(BDA′^)=180∘m(\widehat{BA'D}) + 60^\circ + m(\widehat{BDA'}) = 180^\circ. Buradan m(BDA′^)=m(CA′E^)m(\widehat{BDA'}) = m(\widehat{CA'E}) bulunur. Açı-Açı benzerliği ile △BDA′∼△CA′E\triangle BDA' \sim \triangle CA'E.
Bilinmeyen kenar uzunluklarını bulmak için benzerlik oranlarını yazmak şarttır.
3
Verilen uzunlukları ve değişkenleri yerleştirip denklemi kur
∣BA′∣=1|BA'|=1 ise ∣A′C∣=3−1=2|A'C|=3-1=2. ∣BD∣=x|BD|=x ve ∣CE∣=y|CE|=y diyelim. Benzerlik oranı: ∣BD∣∣CA′∣=∣BA′∣∣CE∣⇒x2=1y⇒xy=2\frac{|BD|}{|CA'|} = \frac{|BA'|}{|CE|} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{y} \Rightarrow xy = 2.
Benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.
4
Diğer benzerlik oranını kullanarak sistemi çöz
Diğer oran: ∣DA′∣∣A′E∣=∣BA′∣∣CE∣\frac{|DA'|}{|A'E|} = \frac{|BA'|}{|CE|}. ∣DA′∣=∣AD∣=3−x|DA'|=|AD|=3-x ve ∣A′E∣=∣AE∣=3−y|A'E|=|AE|=3-y olduğundan, 3−x3−y=1y\frac{3-x}{3-y} = \frac{1}{y}. İçler dışlar çarpımı: 3y−xy=3−y3y - xy = 3 - y. xy=2xy=2 olduğu için 3y−2=3−y⇒4y=5⇒y=5/43y - 2 = 3 - y \Rightarrow 4y = 5 \Rightarrow y = 5/4.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek istenen uzunluğa ulaşmak.
5
Sonucu hesapla
xy=2xy = 2 ve y=5/4y = 5/4 ise, x=2/(5/4)=8/5x = 2 / (5/4) = 8/5.
∣BD∣|BD| uzunluğu xx olarak tanımlanmıştı.

Key Concept

Katlama sorularında, katlanan bölgenin eşliği (açı ve kenar korunumu) ile oluşan yeni üçgenler arasındaki Açı-Açı benzerliği birlikte kullanılır.

Hints

1
Katlama sorularında, katlanan üçgen ile açılan üçgenin eş olduğunu (∣AD∣=∣A′D∣|AD|=|A'D| ve açıların aynen taşındığını) unutmayınız.
2
A′A' noktası BCBC üzerinde olduğunda, doğru açı 180∘180^\circ'dir. m(DA′E^)=60∘m(\widehat{DA'E})=60^\circ bilgisini kullanarak sol ve sağdaki üçgenlerin açıları arasında bir ilişki kurunuz.
3
Soldaki △BDA′\triangle BDA' ile sağdaki △CA′E\triangle CA'E benzerdir. Kenarlara xx ve yy diyerek benzerlik oranlarını yazınız: ∣BD∣/∣CA′∣=∣BA′∣/∣CE∣|BD|/|CA'| = |BA'|/|CE|.

Practice More

Benzer bir katlama sorusunu kare veya dikdörtgen üzerinde deneyerek açı taşıma pratiği yapabilirsiniz.

Alternative Method

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir ancak benzerlik yöntemi çok daha kısa sürer.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

More questions from this topic