Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!y!=210 \frac{x!}{y!} = 210
eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    210
  2. B
    217
  3. C
    225
  4. 232Answer
  5. E
    240

Answer

Eşitliği sağlayan xx değerlerinin toplamı 232'dir.
Verilen eşitlikte x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 olması, y!y!'in x!x!'in içinden sadeleştiğini ve geriye kalan ardışık sayıların çarpımının 210 olduğunu gösterir. 210 sayısı ardışık çarpanlara üç farklı şekilde ayrılabilir: 210210 (tek çarpan), 15⋅1415 \cdot 14 (iki çarpan) ve 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 (üç çarpan). Buna göre xx'in alabileceği değerler 210, 15 ve 7'dir. Toplamları 232 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen faktöriyel ifadesini ardışık sayıların çarpımı olarak yazma.
x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! olduğundan, x!y!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)=210\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) = 210 olmalıdır.
Faktöriyel tanımı gereği x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, xx'ten (y+1)(y+1)'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımıdır.
2
210 sayısının ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde yazılabileceği tüm durumları inceleme (Tek terim, iki terim, üç terim vb.).
Durum 1 (1 Terim): x=210x = 210. Bu durumda y=209y=209 olur.
Durum 2 (2 Terim): Ardışık iki sayının çarpımı n(n−1)=210n(n-1)=210. 15⋅14=21015 \cdot 14 = 210 olduğundan x=15,y=13x=15, y=13.
Durum 3 (3 Terim): Ardışık üç sayının çarpımı n(n−1)(n−2)=210n(n-1)(n-2)=210. 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210 olduğundan x=7,y=4x=7, y=4.
210 sayısını veren ardışık çarpımlar bulunmalıdır. 4 terim için 4⋅3⋅2⋅1=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 olduğundan daha fazla çözüm yoktur.
3
Bulunan xx değerlerini toplama.
xx değerleri: 210,15,7210, 15, 7.
Toplam: 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232.
Soruda xx değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Bir sayının ardışık doğal sayıların çarpımı olarak yazılması ve faktöriyel sadeleştirmesi.

Hints

1
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımıdır.
2
210 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazmaya çalışın. Örneğin, 210=15×?210 = 15 \times ? veya 210=7×?×?210 = 7 \times ? \times ?
3
210 sayısını ardışık çarpanlara ayırmanın üç yolu vardır: Tek başına kendisi, iki sayının çarpımı ve üç sayının çarpımı.

Practice More

Benzer mantıkla x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliği için kaç farklı (x,y)(x,y) ikilisi olduğunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

210 sayısının asal çarpanlarını (2, 3, 5, 7) kullanarak, bu asalların ardışık sayılar içinde nasıl dağılabileceğini analiz edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic