Examkin

Question

Difficulty: Hardİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bir kenar uzunluğu 12 cm olan ABCABC eşkenar üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde, 3∣BD∣=∣DC∣3|BD| = |DC| koşulunu sağlayan bir DD noktası işaretleniyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    353\sqrt{5}
  2. B
    636\sqrt{3}
  3. 3133\sqrt{13}Answer
  4. D
    12
  5. E
    4104\sqrt{10}

Answer

3133\sqrt{13}
Soruda verilen eşkenar üçgenin bir kenarı 12 cm'dir. DD noktasının konumu 3∣BD∣=∣DC∣3|BD|=|DC| oranından ∣BD∣=3|BD|=3 cm olarak bulunur. AA köşesinden tabana indirilen yükseklik (AHAH), tabanı iki eş parçaya böler (∣BH∣=6|BH|=6 cm) ve uzunluğu 636\sqrt{3} cm olur. DD noktası BB ile HH arasında kaldığı için ∣HD∣=6−3=3|HD| = 6-3=3 cm olur. Oluşan AHDAHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında hipotenüs 3133\sqrt{13} cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
BC kenarı üzerindeki parçaların uzunluklarını belirle.
∣BC∣=12|BC| = 12 cm ve 3∣BD∣=∣DC∣3|BD| = |DC| verildiği için, k+3k=12⇒4k=12⇒k=3k + 3k = 12 \Rightarrow 4k=12 \Rightarrow k=3. Yani ∣BD∣=3|BD| = 3 cm ve ∣DC∣=9|DC| = 9 cm bulunur.
Verilen orandan faydalanarak doğru parçalarının uzunluğunu bulmak için.
2
A köşesinden BC kenarına yükseklik indir ve H noktasını işaretle.
Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler. ∣BH∣=∣HC∣=122=6|BH| = |HC| = \frac{12}{2} = 6 cm.
Dik üçgen oluşturarak Pisagor bağıntısını kullanabilmek için.
3
Oluşan dik üçgenin dik kenarlarını hesapla.
Yükseklik ∣AH∣=a32=1232=63|AH| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} cm'dir. H noktası ile D noktası arasındaki mesafe ise ∣HD∣=∣BH∣−∣BD∣=6−3=3|HD| = |BH| - |BD| = 6 - 3 = 3 cm olur.
AHD dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirlemek için.
4
AHD üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣HD∣2⇒∣AD∣2=(63)2+32=108+9=117|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = (6\sqrt{3})^2 + 3^2 = 108 + 9 = 117. Buradan ∣AD∣=117=9×13=313|AD| = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13} cm bulunur.
İstenen uzunluğu bulmak için.

Key Concept

Eşkenar üçgende yükseklik tabanı ikiye böler ve 30-60-90 üçgeni oluşturur; bilinmeyen uzunluklar için Pisagor bağıntısı kullanılır.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi ile çözüm: △ABD\triangle ABD üçgeninde ∣AB∣=12|AB|=12, ∣BD∣=3|BD|=3 ve m(B^)=60∘m(\widehat{B})=60^\circ olduğu bilinmektedir. Kosinüs teoremi uygulanırsa: ∣AD∣2=122+32−2⋅12⋅3⋅cos⁡(60∘)=144+9−72⋅(1/2)=153−36=117|AD|^2 = 12^2 + 3^2 - 2 \cdot 12 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 144 + 9 - 72 \cdot (1/2) = 153 - 36 = 117. Buradan ∣AD∣=117=313|AD| = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

More questions from this topic