Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde bir AA kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z | x2−4x+20x−4∈Z} A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \ \middle| \ \frac{x^2 - 4x + 20}{x - 4} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    42
  3. 48Answer
  4. D
    66
  5. E
    72

Answer

A kümesinin elemanlarının toplamı 48'dir.
Verilen ifade düzenlendiğinde x+20x−4x + \frac{20}{x-4} elde edilir. Bu ifadenin tam sayı olması için (x−4)(x-4), 20'nin bir böleni olmalıdır. 20'nin tam sayı bölenleri: {±1,±2,±4,±5,±10,±20}\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\} olmak üzere 12 tanedir. Her bir bölen dd için x=d+4x = d + 4 değerini alır. Tüm xx değerlerinin toplamı: ∑(d+4)=∑d+∑4\sum (d + 4) = \sum d + \sum 4. Bölenlerin toplamı (∑d\sum d) simetrik oldukları için 0'dır. O halde toplam 12×4=4812 \times 4 = 48 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi polinom bölmesi veya cebirsel düzenleme ile basitleştir.
x2−4x+20x−4=x(x−4)+20x−4=x+20x−4 \frac{x^2 - 4x + 20}{x - 4} = \frac{x(x-4) + 20}{x - 4} = x + \frac{20}{x - 4}
İfadenin tam sayı olma koşulunu daha kolay analiz etmek için tam kısım ile kesirli kısmı ayırırız.
2
İfadenin tam sayı olması için (x−4)(x - 4)'ün 20'nin tam sayı böleni olması gerektiğini belirle.
x−4∈{±1,±2,±4,±5,±10,±20}x - 4 \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}
xx bir tam sayı olduğundan, 20/(x−4)20 / (x-4) ifadesinin de tam sayı olması gerekir. Bu da paydanın 20'yi tam bölmesini gerektirir.
3
Her bir bölen değeri için xx değerlerini bul ve topla.
Toplam =48= 48.
Her bölen (dd) için x=d+4x = d + 4 eşitliği geçerlidir. Bölenlerin toplamı 0 olduğundan, toplam sadece öteleme miktarına bağlıdır.

Key Concept

Tam Sayılarda Bölünebilme ve Küme Tanımı

Hints

1
İfadeyi x+Ax−4x + \frac{A}{x-4} biçiminde yazmaya çalışın.
2
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. 20 sayısının tüm tam sayı bölenlerini (negatifler dahil) düşünün.
3
Her bir bölen değeri dd için, x−4=dx - 4 = d eşitliğinden x=d+4x = d + 4 elde edilir. Bu xx değerlerinin toplamını bulun.

Practice More

Benzer mantıkla, x2+10x+1\frac{x^2+10}{x+1} ifadesinin tam sayı olduğu kaç farklı doğal sayı değeri olduğu sorulabilir.

Alternative Method

Bölenleri tek tek bulmak yerine, simetri özelliğini kullanabilirsiniz. x−4x - 4 ifadesi dd değerlerini alır. Toplam x=∑(d+4)=∑d+∑4x = \sum (d+4) = \sum d + \sum 4. ∑d=0\sum d = 0 olduğu için sonuç sadece n×4n \times 4 olur (nn: bölen sayısı).
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic