Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Kavramı ve Gösterimi

Z \mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere, AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣∣x+1∣≤4} A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x + 1| \le 4 \}

B={x∈Z∣2x≤5} B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 2^x \le 5 \}

Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

  1. -12Answer
  2. B
    -9
  3. C
    -7
  4. D
    -3
  5. E
    3

Answer

A∩BA \cap B kümesinin elemanlarının toplamı -12'dir.
A kümesi -5 ile 3 arasındaki (sınırlar dahil) tam sayılardan oluşur. B kümesi ise 2 ve 2'den küçük tüm tam sayılardan oluşur. Bu iki kümenin kesişimi, A kümesinin 2'den büyük olan elemanlarının (sadece 3 sayısı) atılmasıyla bulunur. Kesişim kümesi {−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\} olur. -2'den +2'ye kadar olan sayıların toplamı 0 olduğundan, geriye kalan −5,−4,−3-5, -4, -3 sayılarının toplamı -12 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için mutlak değer eşitsizliğini çöz.
∣x+1∣≤4  ⟹  −4≤x+1≤4|x + 1| \le 4 \implies -4 \le x + 1 \le 4. Her taraftan 1 çıkarırsak: −5≤x≤3-5 \le x \le 3. A={−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}.
Mutlak değer ∣u∣≤a|u| \le a ifadesi −a≤u≤a-a \le u \le a anlamına gelir.
2
B kümesinin elemanlarını analiz et.
2x≤52^x \le 5 şartını sağlayan tam sayılar aranır. 22=4≤52^2=4 \le 5 (sağlar), 23=8>52^3=8 > 5 (sağlamaz). Ayrıca negatif tam sayılar ve 0 için de bu şart sağlanır (örn: 20=12^0=1, 2−1=0.52^{-1}=0.5). Bu durumda B={...,−2,−1,0,1,2}B = \{..., -2, -1, 0, 1, 2\}.
Üslü eşitsizlikte taban 1'den büyük olduğu için üs büyüdükçe değer büyür; üst sınır kontrol edilmelidir.
3
Kesişim kümesini (A∩BA \cap B) bul ve elemanları topla.
İki kümenin ortak elemanları hem −5≤x≤3-5 \le x \le 3 hem de x≤2x \le 2 şartını sağlamalıdır. Yani −5≤x≤2-5 \le x \le 2. Elemanlar: {−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}. Toplam: (−5)+(−4)+(−3)+[(−2)+(−1)+0+1+2]=−12+0=−12(-5) + (-4) + (-3) + [(-2)+(-1)+0+1+2] = -12 + 0 = -12.
Kesişim kümesi, her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur.

Key Concept

Kümelerin ortak özellik yöntemiyle gösterimi ve tam sayılarda aralık kavramı.

Hints

1
Önce her iki kümeyi de liste yöntemiyle (elemanlarını yazarak) ifade etmeye çalışın. A kümesi için mutlak değer eşitsizliğini açın.
2
B kümesindeki 2x≤52^x \le 5 şartını sağlayan en büyük tam sayıyı bulun. Negatif tam sayıların da bu şartı sağladığını (örneğin 2−1=1/22^{-1}=1/2) unutmayın.
3
A kümesi [−5,3][-5, 3] aralığıdır. B kümesi ise 2 ve daha küçük tüm tam sayılardır. Kesişim kümesi bu iki şartı aynı anda sağlayan sayılardır.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizilerek A kümesinin aralığı (-5 ile 3 arası) ve B kümesinin aralığı (2'den geriye doğru) işaretlenip üst üste gelen bölge görsel olarak belirlenebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic