Examkin

Question

Difficulty: HardDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir harita mühendisi, ABCABC dik üçgeni biçimindeki bir arsanın ölçümlerini yapmaktadır. Arsanın AA köşesindeki açısı 90∘90^\circ olup, [BC][BC] kenarı hipotenüstür. Yapılan ölçümlerde hipotenüs uzunluğu 100 metre, AA köşesinden hipotenüse inilen dikmenin uzunluğu ise 25 metre olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu arsanın en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. 15Answer
  2. B
    22,5
  3. C
    30
  4. D
    45
  5. E
    60

Answer

Arsanın en küçük iç açısı 15 derecedir.
Dik üçgende hipotenüs uzunluğu (aa), kendisine ait yüksekliğin (hh) 4 katı ise (a=4ha=4h), bu üçgenin dar açıları 15∘15^\circ ve 75∘75^\circ'dir. Soruda hipotenüs 100 m ve yükseklik 25 m verildiğinden (100=4×25100 = 4 \times 25), bu şart sağlanır. Dolayısıyla en küçük iç açı 15 derecedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen uzunlukları ve oranı analiz et
Hipotenüs ∣BC∣=a=100|BC| = a = 100 m, Yükseklik ∣AH∣=h=25|AH| = h = 25 m. Oran: h=a4h = \frac{a}{4}.
Dik üçgenin kenar ve yükseklik ilişkisini kurmak için.
2
Muhteşem üçlü (kenarortay) özelliğini kullan
BCBC kenarına ait kenarortay [AM][AM] çizilirse, ∣AM∣=∣BM∣=∣MC∣=1002=50|AM| = |BM| = |MC| = \frac{100}{2} = 50 m olur.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
3
Oluşan AHMAHM dik üçgeninde açıları hesapla
Hipotenüs ∣AM∣=50|AM|=50, dik kenar ∣AH∣=25|AH|=25. Dik kenar hipotenüsün yarısı olduğu için m(AMH^)=30∘m(\widehat{AMH}) = 30^\circ olur (30-60-90 üçgeni).
Özel üçgen özelliklerini kullanarak açı değerini bulmak için.
4
Dış açı özelliğinden üçgenin iç açısını bul
AMCAMC ikizkenar üçgeninde (∣AM∣=∣MC∣|AM|=|MC|), dış açı 30∘30^\circ ise iç açılar 15∘15^\circ olur (2α=30∘⇒α=15∘2\alpha = 30^\circ \Rightarrow \alpha = 15^\circ). Diğer açı 90−15=75∘90-15=75^\circ'dir.
En küçük açıyı tespit etmek için.

Key Concept

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin, hipotenüsün 4'te 1'ine eşit olması (h=a4h = \frac{a}{4}) durumu, üçgenin 15∘−75∘−90∘15^\circ-75^\circ-90^\circ üçgeni olduğunu gösterir.

Hints

1
Hipotenüse ait kenarortayı çizmeyi deneyin. Dik üçgende kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).
2
Kenarortay çizildiğinde oluşan yeni dik üçgenin hipotenüsü 50 m, dik kenarı 25 m olacaktır. Bu oran size tanıdık bir özel üçgeni hatırlatıyor mu?
3
Dik kenar, hipotenüsün yarısıysa açı 30∘30^\circ'dir. Bu açı, ikizkenar bir üçgenin dış açısıdır. Dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Practice More

Benzer bir mantıkla, hipotenüsü yüksekliğinin 222\sqrt{2} katı olan dik üçgenin açılarını soran bir soru çözülebilir (Cevap: 22,5∘22,5^\circ).

Alternative Method

Formül Yöntemi: Doğrudan ha=a4h_a = \frac{a}{4} özelliğini bilen biri, bunun 15∘−75∘−90∘15^\circ-75^\circ-90^\circ üçgeninin karakteristik özelliği olduğunu hatırlayarak işlem yapmadan 15'i işaretleyebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

More questions from this topic