Layer 1

Question 1Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 7\sqrt{2}$ cm ve $|BC| = 17$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

23

24

25

31

17\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

25 santimetre

Verilen

135^\circ

'lik açı, bir

45^\circ - 45^\circ - 90^\circ

üçgeni oluşturmak için idealdir. Üçgenin dışından indirilen dikme ile

|AH|=7

ve

|BH|=7

bulunur. Oluşan büyük

AHC

dik üçgeninin kenarları 7 ve 24 birimdir.

7-24-25

özel üçgeni kuralı gereğince

|AC|

uzunluğu 25 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

CB

kenarını

B

köşesi yönünde dışarıya doğru uzatın ve

A

köşesinden bu uzantıya bir dikme indirerek

H

noktasını belirleyin.

m(\widehat{AHB}) = 90^\circ

olan bir

AHB

dik üçgeni oluşur.

135^\circ

'lik geniş açının bütünleyicisi olan

45^\circ

'yi kullanarak özel bir dik üçgen oluşturmak.

2

AHB

üçgeninde

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

olduğunu bulun ve kenar uzunluklarını hesaplayın.

|AH| = |BH| = 7

cm olur.

45^\circ - 45^\circ - 90^\circ

üçgeninde dik kenarlar, hipotenüsün

\frac{1}{\sqrt{2}}

katıdır (

7\sqrt{2} \div \sqrt{2} = 7

).

3

AHC

büyük dik üçgeninin dik kenar uzunluklarını belirleyin.

|AH| = 7

cm ve

|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24

cm.

Pisagor bağıntısını uygulamak için gerekli olan toplam taban uzunluğunu bulmak.

4

AHC

üçgeninde Pisagor teoremini uygulayın:

|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2

|AC|^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \Rightarrow |AC| = 25

cm.

7 - 24 - 25

kenarlarına göre özel dik üçgen özelliğinden dolayı.

Key Concept

Geniş açılı üçgenlerde dış yükseklik yardımıyla dik üçgen oluşturma ve kenarlarına göre özel üçgenler (

7-24-25

).

Hints

1

135^\circ

derecelik açının dış açısının kaç derece olduğunu düşünün.

2

AB

kenarını hipotenüs kabul eden dışarıda bir dik üçgen oluşturarak dik kenarları bulun.

3

Dışarıda oluşan yeni dik üçgenin dik kenarları 7 ve 24 cm'dir. Bu tanıdık bir özel üçgen mi?

Practice More

Benzer şekilde

120^\circ

veya

150^\circ

açılı üçgenlerde dış yükseklik çizerek çözüm yapmayı deneyin.

Alternative Method

Kosinüs teoremi kullanılabilir:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(135^\circ)

. Burada

a=17, c=7\sqrt{2}

ve

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

değerleri yerine yazıldığında sonuç aynı çıkacaktır.

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ olarak verilmiştir.

$|BH| = 9$ cm ve $|AC| = 20$ cm olduğuna göre, $A$ köşesinin hipotenüse olan uzaklığı ( $|AH|$ ) kaç santimetredir?

10

12

15

16

18

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Üçgenin yüksekliği 12 cm olarak bulunur.

Soruda verilen dik üçgende dikten dik inildiği için Öklid bağıntıları geçerlidir. Önce

|AC|

dik kenarını kullanarak

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

bağıntısından

|HC|=16

cm bulunur. Ardından

|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|

yükseklik bağıntısı ile

h^2 = 9 \cdot 16 = 144

elde edilir ve yükseklik 12 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri tanımla ve bilinmeyen parçaya değişken ata.

|BH| = 9

,

|AC| = 20

.

|HC| = x

ve

|AH| = h

diyelim.

Öklid bağıntılarını kullanabilmek için hipotenüs parçalarını belirlemek gerekir.

2

Öklid'in Dik Kenar Bağıntısını kullanarak

x

'i bul.

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC| \implies 20^2 = x \cdot (x + 9)

Bir dik kenarın karesi, kendine yakın hipotenüs parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

3

Oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

400 = x^2 + 9x \implies x^2 + 9x - 400 = 0

. Çarpanlarına ayırırsak

(x+25)(x-16)=0

. Uzunluk negatif olamayacağı için

x=16

cm.

x

değeri

|HC|

uzunluğudur.

4

Öklid'in Yükseklik Bağıntısını kullanarak

h

'yi hesapla.

h^2 = p \cdot k \implies h^2 = 9 \cdot 16 = 144

. Buradan

h = 12

cm bulunur.

Yüksekliğin karesi, hipotenüs parçalarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Öklid Bağıntıları (Dik Kenar ve Yükseklik İlişkileri)

Hints

1

Dik açıdan dik inildiği için 'Muhteşem Üçlü' değil, 'Öklid Bağıntıları'nı kullanmalısın.

2

Verilen

|AC|

kenarı bir dik kenardır. Öklid'in kenar bağıntısını (

b^2 = k \cdot a

) kullanarak önce bilinmeyen hipotenüs parçasını bul.

3

|HC| = x

dersen,

20^2 = x \cdot (x + 9)

denklemini kurup

x

'i çözmelisin. Sonra yüksekliği bulabilirsin.

Practice More

Öklid bağıntılarında alan formülünü (

a \cdot h = b \cdot c

) kullandıran bir soru çöz.

Alternative Method

Pisagor yöntemi:

AH = h

ve

HC = x

olsun. Soldaki üçgende

AB^2 = 9^2 + h^2

. Büyük üçgende

20^2 + AB^2 = (9+x)^2

. Sağdaki üçgende

20^2 = h^2 + x^2

. Bu denklemler ortak çözülerek de

h

bulunabilir ancak Öklid çok daha hızlıdır.

Estimated Time:4m 0s

Question 3Question →

Aşağıdaki ABC üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 5\sqrt{2}$ cm ve $|BC| = 7$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

\sqrt{29}

3\sqrt{11}

12

13

14

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Üçgenin dışında oluşturulan özel dik üçgen yardımıyla

|AC|

uzunluğu 13 cm bulunur.

Verilen

135^\circ

açısı geniş bir açıdır ve bütünleri olan

45^\circ

, özel bir dik üçgen oluşturmak için ipucudur. Şeklin dışına doğru uzatma yapılarak

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeni elde edilir. Bu küçük üçgenin kenarları 5 ve 5 bulunduğunda, büyük dik üçgenin kenarları 5 ve 12 olur. 5-12-13 özel üçgeni kuralıyla hipotenüs 13 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

BC kenarını B köşesinden sol tarafa doğru uzatın ve A köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin. İndirilen dikmenin ayağına H noktası deyin.

AHC dik üçgeni oluşturulur.

135^\circ

gibi geniş açılı üçgen sorularında, açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanmak için genellikle dışarıdan dik üçgen tamamlanır.

2

Oluşan ABH üçgeninin açılarını ve kenarlarını inceleyin.

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

olur. AHB üçgeni

45^\circ-45^\circ-90^\circ

özel üçgenidir.

Bütünler açı kuralı ve dik üçgen inşası.

3

ABH üçgeninde hipotenüs

|AB|=5\sqrt{2}

olduğuna göre dik kenarları hesaplayın.

|AH| = |HB| = 5

cm bulunur.

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeninde hipotenüs, dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır (

a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \Rightarrow a=5

).

4

Büyük AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın.

Dik kenarlar:

|AH|=5

ve

|HC| = |HB| + |BC| = 5 + 7 = 12

cm.

|AC|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

.

Büyük üçgenin tabanı, eklenen parça ile mevcut kenarın toplamıdır.

5

Sonucu bulun.

|AC| = \sqrt{169} = 13

cm.

5-12-13 özel dik üçgeni.

Key Concept

Geniş açılı üçgenlerde dışarıdan dikme indirerek özel açılı (

30^\circ, 45^\circ, 60^\circ

) dik üçgenler oluşturma.

Hints

1

135^\circ

açısı geniş bir açıdır. Bu açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanabilmek için üçgenin kenarını dışarı doğru uzatmayı deneyin.

2

BC kenarını sol tarafa uzatıp A köşesinden bir dikme indirdiğinizde, hipotenüsü

|AB|=5\sqrt{2}

olan ikizkenar bir dik üçgen elde edeceksiniz.

3

Oluşan küçük dik üçgenin dik kenarları 5'er cm olur. Böylece oluşan büyük dik üçgenin kenarları 5 cm ve

(5+7)

cm olur. Pisagor bağıntısını bu büyük üçgen için uygulayın.

Practice More

Benzer mantıkla çözülen,

120^\circ

veya

150^\circ

açılı üçgen sorularını inceleyin. Bu açılar sırasıyla

60^\circ

ve

30^\circ

'lik dış dik üçgenler oluşturur.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(135^\circ)

formülü ile de çözüm yapılabilir.

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

değeri yerine konularak

|AC|^2 = 50 + 49 - 2(5\sqrt{2})(7)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 99 + 70 = 169

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

AB $\perp$ AC olan bir ABC dik üçgeninde, D noktası [AC] kenarı üzerindedir. $m(\widehat{DBC}) = 30^\circ$ , $m(\widehat{ABD}) = 15^\circ$ ve $|DC| = 4$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kaç cm'dir?

2\sqrt{3}

4

2 + 2\sqrt{3}

4\sqrt{2}

2 + 4\sqrt{3}

Show answer & explanation

Answer: $2 + 2\sqrt{3}$

Answer

İstenen uzunluk 2 + 2\sqrt{3} cm'dir.

Soruda verilen açılar incelendiğinde büyük üçgenin (ABC) 45-45-90 ikizkenar dik üçgen olduğu görülür. D noktasından hipotenüse indirilen dikme (DH), hipotenüsü iki parçaya ayırır. Sağdaki parça (HC), 45-45-90 üçgeninden dolayı

2\sqrt{2}

bulunur. Soldaki parça (BH), 30-60-90 üçgeninden dolayı

2\sqrt{6}

bulunur. Toplam hipotenüs

2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}

olduğunda, dik kenar

|AB|

bu değerin

\sqrt{2}

'ye bölümü olan

2\sqrt{3} + 2

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

ABC üçgeninin açılarını analiz et.

m(\widehat{ABC}) = 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ

.

\triangle ABC

dik üçgen olduğu için (

A=90^\circ

),

m(\widehat{C}) = 45^\circ

olur. Bu durumda

|AB| = |AC|

'dir.

Üçgenin ikizkenar dik üçgen olduğunu belirlemek çözümün temelidir.

2

D noktasından [BC] hipotenüsüne dik bir DH doğrusu çiz.

Oluşan

\triangle DHC

üçgeni 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüs

|DC|=4

olduğundan, dik kenarlar

|DH| = |HC| = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

cm olur.

Özel açılı üçgen özelliklerini kullanabilmek için yardımcı doğru çizmek gereklidir.

3

Oluşan DBH üçgeninde kenar uzunluklarını hesapla.

\triangle DBH

bir 30-60-90 üçgenidir (

m(\widehat{DBH})=30^\circ

,

m(\widehat{DHB})=90^\circ

). 30 derecenin karşısı

|DH|=2\sqrt{2}

ise, 60 derecenin karşısı

|BH| = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6}

cm olur.

30-60-90 üçgeninde 60 derecenin karşısındaki kenar, 30 derecenin karşısındakinin

\sqrt{3}

katıdır.

4

BC uzunluğunu ve ardından AB'yi bul.

|BC| = |BH| + |HC| = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}

. ABC ikizkenar dik üçgen olduğundan

|BC| = |AB|\sqrt{2}

'dir. Buradan

|AB| = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} + 2

cm bulunur.

Parçaları birleştirip büyük üçgenin özelliğini kullanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Özel açılı üçgenlerde (30-60-90, 45-45-90) kenar bağıntıları ve yardımcı dikme çizme yöntemi.

Hints

1

ABC üçgeninin B açısının tamamını hesaplayarak büyük üçgenin türünü (açılarına göre) belirleyiniz.

2

D noktasından [BC] kenarına bir dikme (yükseklik) indirerek oluşan yeni dik üçgenleri inceleyiniz.

3

İndirdiğiniz dikme sağda bir 45-45-90 üçgeni, solda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşturacaktır. Bu üçgenlerin kenar bağıntılarını kullanın.

Practice More

Benzer şekilde 15-75-90 üçgeninin h-4h özelliğini kullandıran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Sinüs teoremi veya trigonometrik oranlar kullanılarak:

\tan(15^\circ) = 2-\sqrt{3}

değeri üzerinden

\triangle ABD

içinde oran kurularak da çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 5Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ ve $[BD] \perp [AC]$ 'dir. $|AB| = 15$ cm ve $|BC| = 20$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

9

12

16

25

7

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Dik üçgende hipotenüs üzerindeki izdüşüm uzunluğunu veren Öklid bağıntısı kullanılarak

|AD| = 9

cm bulunur.

Verilen

ABC

dik üçgeninde önce Pisagor bağıntısı ile

|AC| = 25

cm olarak bulunur. Ardından Öklid'in dik kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın uzunluğunun karesi (

15^2

), o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşüm uzunluğu (

|AD|

) ile hipotenüsün tamamının (

|AC|

) çarpımına eşittir. Bu durumda

225 = |AD| \times 25

eşitliğinden sonuç 9 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeninde Pisagor bağıntısı ile hipotenüs uzunluğunu hesapla.

|AC|^2 = 15^2 + 20^2 \Rightarrow |AC|^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow |AC| = 25

cm.

Öklid bağıntılarını uygulayabilmek için hipotenüsün tamamına ihtiyaç vardır.

2

Öklid'in dik kenar bağıntısını (

|AB|^2 = |AD| \cdot |AC|

) uygula.

15^2 = |AD| \cdot 25 \Rightarrow 225 = |AD| \cdot 25

.

Bir dik üçgende dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

3

|AD|

uzunluğunu bulmak için denklemi çöz.

|AD| = \frac{225}{25} = 9

cm.

Bölme işlemi ile bilinmeyen kenar uzunluğu elde edilir.

Key Concept

Dik üçgende Öklid bağıntıları ve Pisagor teoremi.

Hints

1

Öncelikle

15-20-?

özel üçgenini kullanarak hipotenüsün tamamını bulmayı deneyin.

2

Dik kenarların uzunlukları biliniyorsa, Öklid'in dik kenar bağıntısını (

c^2 = p \cdot a

) kullanabilirsiniz.

3

|AB|^2 = |AD| \cdot |AC|

formülünde bildiğiniz değerleri yerine koyun.

Practice More

Benzer bir soruda

|BD|

yüksekliğini bulmayı ve ardından

|AD|

ile

|DC|

arasındaki ilişkiyi Öklid'in yükseklik bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) ile kontrol etmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Önce alanı kullanarak veya Öklid yüksekliği ile

|BD| = 12

bulunur. Daha sonra

ABD

üçgeninde

9-12-15

özel üçgeni (3-4-5'in 3 katı) fark edilerek

|AD| = 9

doğrudan söylenebilir.

Estimated Time:1m 15s

Question 6Question →

Hipotenüs uzunluğu 24 cm ve alanı 72 $cm^2$ olan bir dik üçgenin dik kenar uzunluklarının toplamı kaç santimetredir?

12\sqrt{3}

12\sqrt{6}

24

24\sqrt{2}

36

Show answer & explanation

Answer: $12\sqrt{6}$

Answer

Dik kenarların toplamı 12\sqrt{6} cm'dir.

Dik üçgende dik kenarların toplamına

(b+c)

dersek, tam kare açılımı

(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc

şeklindedir. Pisagor bağıntısından

b^2+c^2 = a^2 = 24^2 = 576

ve alan formülünden

bc = 2 \cdot 72 = 144

olduğu bilinir. Bu değerler yerine konulduğunda

(b+c)^2 = 576 + 288 = 864

bulunur. Karekök alındığında sonuç

12\sqrt{6}

cm olarak elde edilir. Ayrıca

h = 6

ve

a = 24

olduğundan

h = a/4

bağıntısı sağlanır, bu da üçgenin 15-75-90 üçgeni olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Dik kenarlara b ve c, hipotenüse a diyelim. Verilenleri formülize et.

a = 24, Alan = (b*c)/2 = 72 => b*c = 144

Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır.

2

Pisagor teoremini yaz.

b² + c² = a² = 24² = 576

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

3

(b+c)² tam kare özdeşliğini kullanarak b+c toplamını bul.

(b+c)² = b² + c² + 2bc = 576 + 2(144) = 576 + 288 = 864

Dik kenarlar toplamına ulaşmak için cebirsel özdeşlik kullanılır.

4

Her iki tarafın karekökünü al.

b+c = \sqrt{864} = \sqrt{144 * 6} = 12\sqrt{6}

Sonuca ulaşmak için kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

Key Concept

Dik üçgende alan ve Pisagor bağıntısı ile tam kare özdeşliği arasındaki ilişki.

Hints

1

Dik kenarların uzunluklarına b ve c diyerek, b²+c² değerini ve b*c değerini bulmaya çalışın.

2

(b+c)² ifadesinin açılımını (özdeşliğini) hatırlayın: b² + c² + 2bc.

3

b²+c² yerine hipotenüsün karesini, bc yerine ise Alanın 2 katını yazarak (b+c)² değerini hesaplayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, hipotenüs ve çevre verilip alan sorularak oluşturun.

Alternative Method

Üçgenin alanından yüksekliğin h = 2*Alan / a = 144/24 = 6 olduğu bulunur. h = a/4 olduğundan bu bir 15-75-90 üçgenidir. 15-75-90 üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün (\sqrt{6} ± \sqrt{2})/4 katıdır (veya yükseklik cinsinden ifade edilebilir). Buradan kenarlar toplanarak da sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 7Question →

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ olarak verilmiştir. $A$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $|BD| = 6$ cm ve $|DC| = 10$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç santimetredir?

10

12

16

18

20

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

İstenen uzunluk 12 santimetredir.

İç açıortay teoremi gereği kolların oranı, tabandaki parçaların oranına eşittir (

3k, 5k

). Oluşan üçgen 3-4-5 üçgeninin bir katı olduğundan, hipotenüs ve dik kenar arasındaki ilişki çözülerek istenen kenar uzunluğu 12 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Açıortay teoremini uygula.

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

bulunur. Buradan

|AB| = 3k

ve

|AC| = 5k

diyebiliriz.

Üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler.

2

ABC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kur.

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \Rightarrow (3k)^2 + (6+10)^2 = (5k)^2

.

Dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanmak için.

3

Denklemi çözerek

k

değerini bul.

9k^2 + 16^2 = 25k^2 \Rightarrow 256 = 16k^2 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4

.

Bilinmeyen katsayıyı belirlemek için.

4

|AB|

uzunluğunu hesapla.

|AB| = 3k = 3 \cdot 4 = 12

cm.

Soruda istenen kenar uzunluğuna ulaşmak için.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Question 8Question →

Bir harita mühendisi, $ABC$ dik üçgeni biçimindeki bir arsanın ölçümlerini yapmaktadır. Arsanın $A$ köşesindeki açısı $90^\circ$ olup, $[BC]$ kenarı hipotenüstür. Yapılan ölçümlerde hipotenüs uzunluğu 100 metre, $A$ köşesinden hipotenüse inilen dikmenin uzunluğu ise 25 metre olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu arsanın en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

15

22,5

30

45

60

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Arsanın en küçük iç açısı 15 derecedir.

Dik üçgende hipotenüs uzunluğu (

a

), kendisine ait yüksekliğin (

h

) 4 katı ise (

a=4h

), bu üçgenin dar açıları

15^\circ

ve

75^\circ

'dir. Soruda hipotenüs 100 m ve yükseklik 25 m verildiğinden (

100 = 4 \times 25

), bu şart sağlanır. Dolayısıyla en küçük iç açı 15 derecedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen uzunlukları ve oranı analiz et

Hipotenüs

|BC| = a = 100

m, Yükseklik

|AH| = h = 25

m. Oran:

h = \frac{a}{4}

.

Dik üçgenin kenar ve yükseklik ilişkisini kurmak için.

2

Muhteşem üçlü (kenarortay) özelliğini kullan

BC

kenarına ait kenarortay

[AM]

çizilirse,

|AM| = |BM| = |MC| = \frac{100}{2} = 50

m olur.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

Oluşan

AHM

dik üçgeninde açıları hesapla

Hipotenüs

|AM|=50

, dik kenar

|AH|=25

. Dik kenar hipotenüsün yarısı olduğu için

m(\widehat{AMH}) = 30^\circ

olur (30-60-90 üçgeni).

Özel üçgen özelliklerini kullanarak açı değerini bulmak için.

4

Dış açı özelliğinden üçgenin iç açısını bul

AMC

ikizkenar üçgeninde (

|AM|=|MC|

), dış açı

30^\circ

ise iç açılar

15^\circ

olur (

2\alpha = 30^\circ \Rightarrow \alpha = 15^\circ

). Diğer açı

90-15=75^\circ

'dir.

En küçük açıyı tespit etmek için.

Key Concept

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin, hipotenüsün 4'te 1'ine eşit olması (

h = \frac{a}{4}

) durumu, üçgenin

15^\circ-75^\circ-90^\circ

üçgeni olduğunu gösterir.

Hints

1

Hipotenüse ait kenarortayı çizmeyi deneyin. Dik üçgende kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).

2

Kenarortay çizildiğinde oluşan yeni dik üçgenin hipotenüsü 50 m, dik kenarı 25 m olacaktır. Bu oran size tanıdık bir özel üçgeni hatırlatıyor mu?

3

Dik kenar, hipotenüsün yarısıysa açı

30^\circ

'dir. Bu açı, ikizkenar bir üçgenin dış açısıdır. Dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Practice More

Benzer bir mantıkla, hipotenüsü yüksekliğinin

2\sqrt{2}

katı olan dik üçgenin açılarını soran bir soru çözülebilir (Cevap:

22,5^\circ

).

Alternative Method

Formül Yöntemi: Doğrudan

h_a = \frac{a}{4}

özelliğini bilen biri, bunun

15^\circ-75^\circ-90^\circ

üçgeninin karakteristik özelliği olduğunu hatırlayarak işlem yapmadan 15'i işaretleyebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 9Question →

ABC bir üçgen olmak üzere, $[AH] \perp [BC]$ olacak şekilde $[BC]$ kenarı üzerinde bir H noktası alınıyor.

m(\widehat{HAC}) = m(\widehat{ABC})

Verilen şekilde $|BH| = 4$ cm ve $|HC| = 9$ cm olduğuna göre, $|AH|$ uzunluğu kaç santimetredir?

5

6

6,5

13

36

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6 santimetredir

Soruda verilen açı eşitliği (

m(\widehat{HAC}) = m(\widehat{B})

), AHC dik üçgenindeki tümler açı ilişkisiyle birleştiğinde

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ

olduğunu ispatlar. Bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme (AH) için Öklid bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) geçerlidir. Buna göre

|AH|^2 = 4 \cdot 9 = 36

olup,

|AH| = 6

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Açı ilişkilerini analiz et.

Üçgenin A köşesinin 90 derece olduğunu belirle.

m(\widehat{ABC}) = \alpha

denirse, verilen eşitlikten

m(\widehat{HAC}) = \alpha

olur. AHC dik üçgeninde

m(\widehat{C}) = 90^\circ - \alpha

dır. O halde büyük üçgende B ve C açılarının toplamı

\alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ

olur. Bu durumda

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ

dir.

2

Uygun geometrik teoremi seç.

Öklid Yükseklik Bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

)

Tepe açısı 90 derece olan bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiği için Öklid bağıntıları geçerlidir.

3

Verilen değerleri formülde yerine koy ve hesapla.

|AH| = 6

cm

|AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \Rightarrow h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h = 6

cm.

Key Concept

Öklid Bağıntıları ve Dik Üçgen Özellikleri

Hints

1

AHC üçgeninde iç açılar toplamını düşünün.

\widehat{HAC}

açısı ile

\widehat{C}

açısının toplamı kaç derecedir?

2

\widehat{HAC}

yerine soruda verilen eşiti olan

\widehat{B}

açısını yazın. Büyük ABC üçgeninde B ve C açılarının toplamını bulursanız, A açısının ölçüsünü de bulabilirsiniz.

3

A açısının 90 derece olduğunu bulduktan sonra, dikten dik inildiği durumlar için geçerli olan

h^2 = p \cdot k

(Öklid) bağıntısını kullanın.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak da çözülebilir:

\triangle ABH \sim \triangle CAH

. Buradan

\frac{|BH|}{|AH|} = \frac{|AH|}{|HC|}

oranı kurulabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 10Question →

Bir dik üçgende dik açıyı oluşturan kenarların uzunlukları $|AB| = 9$ cm ve $|BC| = 12$ cm olarak verilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu ( $|AC|$ ) kaç santimetredir?

15

21

225

\sqrt{21}

25

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Hipotenüs uzunluğu 15 santimetredir.

Verilen dik üçgende dik kenarlar 9 cm ve 12 cm'dir. Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) uygulandığında

9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225

bulunur. 225 sayısının karekökü 15 olduğundan hipotenüs 15 cm'dir. Ayrıca bu üçgen, en temel özel üçgen olan 3-4-5 üçgeninin her bir kenarının 3 ile çarpılmış halidir (

3\times3=9

,

4\times3=12

,

5\times3=15

).

Step-by-Step Solution

1

Verilen dik kenar uzunluklarını belirleyelim.

|AB| = 9

cm ve

|BC| = 12

cm

Pisagor bağıntısını uygulamak için dik kenar uzunluklarını bilmemiz gerekir.

2

Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kuralım.

9^2 + 12^2 = |AC|^2

Dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

3

Kare alma ve toplama işlemlerini yapalım.

81 + 144 = 225

Sayıların karelerini hesaplayıp toplayarak hipotenüsün karesini buluruz.

4

Sonucun karekökünü alarak hipotenüs uzunluğunu bulalım.

|AC| = \sqrt{225} = 15

cm

Uzunluğu bulmak için karesi alınan değerin karekökünü hesaplarız.

Key Concept

Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler

Hints

1

Dik üçgende hipotenüsü bulmak için Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanabilirsin.

2

Dik kenarlar olan 9 ve 12'nin karelerini alıp topladıktan sonra, çıkan sonucun hangi sayının karesi olduğunu düşün.

3

Bu üçgen 3-4-5 özel üçgeninin bir katı olabilir mi? Kenar uzunluklarını 3'e bölerek kontrol et.

Practice More

Farklı kenar uzunluklarına sahip 5-12-13 ve 8-15-17 gibi diğer özel dik üçgenleri de inceleyebilirsin.

Alternative Method

Özel üçgenleri hatırlamak işini kolaylaştırabilir. 3-4-5 üçgeninin katlarını kontrol edersek:

3\times3=9

ve

4\times3=12

olduğunu görürüz. Bu durumda hipotenüs de

5\times3=15

olacaktır.

Estimated Time:45s

Question 11Question →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde $[AH] \perp [BC]$ dir. $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AH| = 6$ cm olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

6 + 6\sqrt{3}

12\sqrt{3}

12

18

6 + 2\sqrt{3}

Show answer & explanation

Answer: $6 + 6\sqrt{3}$

Answer

6 + 6\sqrt{3}

cm uzunluğu, iki özel dik üçgenin taban uzunluklarının toplamıdır.

Verilen

ABC

üçgeninde

AH

yüksekliği, üçgeni iki özel dik üçgene ayırır. Sol taraftaki

ABH

ikizkenar dik üçgeninde

|BH|=6

cm bulunur. Sağ taraftaki

ACH

(

30-60-90

) üçgeninde ise

60^\circ

'nin gördüğü

|HC|

kenarı,

30^\circ

'nin gördüğü

6

cm'nin

\sqrt{3}

katı olan

6\sqrt{3}

cm'dir. Toplam taban uzunluğu bu iki değerin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1

ABH

dik üçgeninde kenar özelliklerini belirle.

|BH| = 6

cm

45-45-90

üçgeninde dik kenarlar birbirine eşittir.

|AH| = 6

cm olduğundan

|BH| = 6

cm olur.

2

ACH

dik üçgeninde kenar özelliklerini belirle.

|HC| = 6\sqrt{3}

cm

30-60-90

üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar (

HC

),

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın (

AH

)

\sqrt{3}

katıdır.

3

|BC|

toplam uzunluğunu hesapla.

6 + 6\sqrt{3}

cm

|BC|

uzunluğu,

|BH|

ve

|HC|

parçalarının toplamına eşittir.

Key Concept

Özel açılı dik üçgenlerde (

30-60-90

ve

45-45-90

) kenarlar arasındaki sabit oranlar.

Hints

1

AH

yüksekliğinin üçgeni iki farklı özel dik üçgene böldüğüne dikkat edin.

2

Sol tarafta bir

45-45-90

(ikizkenar dik) üçgen, sağ tarafta ise bir

30-60-90

üçgeni oluşmaktadır.

3

30-60-90

üçgeninde

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

6

ise,

60^\circ

'nin karşısındaki

|HC|

kenarı bunun

\sqrt{3}

katı olmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruda

|BC|

uzunluğu verilip yüksekliğin sorulduğu durumları inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 12Question →

Aşağıda verilen dik üçgen modelinde dik kenar uzunlukları $|AB| = 5$ cm ve $|BC| = 12$ cm olarak belirtilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu olan $|AC|$ kaç santimetredir?

13

17

169

15

7

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Hipotenüs uzunluğu 13 santimetredir.

Verilen üçgen bir dik üçgendir ve hipotenüs uzunluğu Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanılarak hesaplanır. 5 ve 12 dik kenar uzunlukları için kareler toplamı

25 + 144 = 169

eder. 169 sayısı 13'ün karesi olduğu için hipotenüs 13 cm'dir. Bu aynı zamanda '5-12-13' özel dik üçgenidir.

Step-by-Step Solution

1

Dik kenar uzunluklarını Pisagor bağıntısında yerine yazın.

5^2 + 12^2 = |AC|^2

Pisagor bağıntısı, dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.

2

Dik kenarların karelerini hesaplayın.

25 + 144 = |AC|^2

Sayıların karelerini alarak toplam işlemine hazır hale getiririz.

3

Kareleri toplayın.

169 = |AC|^2

Hipotenüsün karesinin sayısal değerini buluruz.

4

Sonucun karekökünü alarak kenar uzunluğunu bulun.

|AC| = \sqrt{169} = 13

Karesi 169 olan pozitif tam sayıyı bularak hipotenüs uzunluğuna ulaşırız.

Key Concept

Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler (5-12-13 Üçgeni)

Hints

1

Dik üçgenlerde en uzun kenar (hipotenüs) her zaman dik açının karşısındaki kenardır.

2

Pisagor bağıntısını hatırlayın:

a^2 + b^2 = c^2

. Burada

a=5

ve

b=12

olarak verilmiştir.

3

5 ve 12 sayılarının karelerini alıp toplayın, ardından çıkan sonucun hangi sayının karesi olduğunu bulun.

Practice More

Diğer popüler özel dik üçgenleri (3-4-5, 8-15-17 gibi) inceleyerek pratiklik kazanabilirsiniz.

Alternative Method

Geometride sıkça karşımıza çıkan '5-12-13' özel dik üçgenini ezbere bilmek, Pisagor işlemi yapmadan hızlıca sonuca ulaşmanızı sağlar.

Estimated Time:45s

Question 13Question →

Aşağıda verilen dik üçgen modelinde dik kenar uzunlukları $|AB| = 8$ cm ve $|BC| = 15$ cm olarak verilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu ( $|AC|$ ) kaç santimetredir?

17

13

23

25

19

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 17 santimetredir.

Pisagor teoremi gereğince, dik kenarları 8 cm ve 15 cm olan bir üçgende hipotenüs uzunluğu

c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289

denklemiyle bulunur. 289 sayısının karekökü 17 olduğu için en uzun kenar 17 cm'dir. Bu durum geometride '8-15-17 özel üçgeni' olarak bilinir.

Step-by-Step Solution

1

Dik üçgenin kenarları arasındaki Pisagor bağıntısını yazın.

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2

Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyun.

8^2 + 15^2 = |AC|^2

Soruda

|AB| = 8

ve

|BC| = 15

olarak verilmiştir.

3

Sayıların karelerini hesaplayın ve toplayın.

64 + 225 = 289

İşlemler:

8 \times 8 = 64

ve

15 \times 15 = 225

.

4

Toplamın karekökünü alarak hipotenüs uzunluğunu bulun.

\sqrt{289} = 17

17 \times 17 = 289

olduğu için

|AC| = 17

cm bulunur.

Key Concept

Pisagor Bağıntısı ve 8-15-17 Özel Üçgeni

Hints

1

Dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi bulmak için Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanmalısınız.

2

Kenar uzunlukları 8 ve 15 olan sayıların karelerini hesaplayıp toplayın.

3

64 + 225 = 289

işleminin sonucunun hangi sayının karesi olduğunu düşünün.

Practice More

Hipotenüsü 25 cm ve bir dik kenarı 7 cm olan bir dik üçgenin diğer dik kenarını bulmaya çalışarak özel üçgen bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Geometride sıkça kullanılan tam sayılı özel üçgenleri (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25) ezberlemek, sınavda işlem yapmadan hızlıca sonuca ulaşmanızı sağlar.

Estimated Time:45s

Question 14Question →

Ölçüleri $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeni çiziliyor. Bu üçgende $A$ köşesinden $[BC]$ hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı $H$ , hipotenüse ait $[AD]$ kenarortayının hipotenüsü kestiği nokta ise $D$ olarak işaretleniyor.

$|AB| = 12$ cm olduğuna göre, $H$ ve $D$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|HD|$ ) kaç cm'dir?

12

6\sqrt{3}

6

18

4

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

H ve D noktaları arasındaki uzaklık 6 cm'dir.

Verilen

ABC

üçgeninde hipotenüs uzunluğu 24 cm olarak hesaplanır. Hipotenüse ait kenarortay noktası

D

,

B

köşesinden 12 cm uzaklıktadır.

A

köşesinden inen yüksekliğin ayağı olan

H

noktası ise

ABH

(

30-60-90

) üçgeni gereği

B

köşesinden 6 cm uzaklıktadır. Bu durumda iki nokta arasındaki mesafe olan 6 cm elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeninin bilinmeyen açılarını ve kenar uzunluklarını belirleyin.

m(\widehat{B}) = 60^\circ

ve

|BC| = 2 \times 12 = 24

cm.

Bir dik üçgende açılar toplamı

180^\circ

olduğundan

B

açısı

60^\circ

olur.

30-60-90

üçgeninde hipotenüs,

30^\circ

karşısındaki kenarın iki katıdır.

2

Kenarortay noktasının (

D

) konumunu tespit edin.

|BD| = |DC| = 12

cm.

Kenarortay, hipotenüsü iki eşit parçaya böler.

3

ABH

dik üçgeninde yüksekliğin ayağı olan

H

noktasının konumunu hesaplayın.

|BH| = |AB| / 2 = 6

cm.

ABH

üçgeni de bir

30-60-90

üçgenidir (

m(\widehat{BAH})=30^\circ

);

30^\circ

karşısındaki

|BH|

kenarı hipotenüs

|AB|

'nin yarısıdır.

4

H

ve

D

noktaları arasındaki farkı bulun.

|HD| = |BD| - |BH| = 12 - 6 = 6

cm.

B, H

ve

D

noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan aralarındaki mesafe farkları ile bulunur.

Key Concept

Dik üçgende 30-60-90 özel açılı üçgen bağıntıları ile muhteşem üçlü ve yükseklik özellikleri.

Hints

1

ABC

üçgeninin iç açılarından faydalanarak

B

açısının kaç derece olduğunu bulun.

2

30-60-90 üçgeni kuralını kullanarak önce hipotenüsü (

|BC|

), ardından

ABH

üçgeninde

|BH|

uzunluğunu hesaplayın.

3

|BC|

'nin tam orta noktasının

D

olduğunu ve

B

köşesine uzaklığının

|BC|/2

olduğunu unutmayın.

|HD| = |BD| - |BH|

işlemini yapın.

Practice More

Aynı soruyu

|AB|

yerine

|AC|

kenarı verildiğinde tekrar çözerek özel üçgenlerdeki oran hakimiyetinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

|AC| = 12\sqrt{3}

cm olarak bulunur.

AHC

dik üçgeninde

|HC| = |AC| \cdot \cos(30^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) = 18

cm hesaplanır.

|CD| = 12

cm olduğundan,

|HD| = |HC| - |CD| = 18 - 12 = 6

cm sonucuna varılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 15Question →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $A$ köşesinden hipotenüse indirilen dikme ayağı $H$ noktasıdır. Üçgenin dik kenar uzunlukları $b$ ve $c$ , hipotenüse ait yüksekliği ise $h$ ile gösterilmektedir.

16h^2 = b^2 + c^2

eşitliği sağlandığına göre, bu üçgenin en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

15

22,5

30

45

60

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

En küçük iç açı 15 derecedir.

Verilen

16h^2 = b^2 + c^2

eşitliğinde Pisagor teoremi gereği

b^2 + c^2

yerine

a^2

(hipotenüsün karesi) yazıldığında

16h^2 = a^2

elde edilir. Buradan

4h = a

yani

h = a/4

sonucu çıkar. Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüsün dörtte biri olması durumu, yalnızca 15-75-90 üçgenine özgü bir kuraldır. Dolayısıyla üçgenin dar açıları 15 ve 75 derecedir. En küçük açı 15 derecedir.

Step-by-Step Solution

1

Pisagor bağıntısını hatırla.

b^2 + c^2 = a^2

(Burada

a

hipotenüs uzunluğudur).

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

2

Verilen denklemde

b^2 + c^2

yerine

a^2

yaz.

16h^2 = a^2

Denklemi basitleştirerek yükseklik (

h

) ile hipotenüs (

a

) arasındaki ilişkiyi bulmak.

3

Her iki tarafın karekökünü al.

4h = a

veya

h = \frac{a}{4}

Uzunluklar pozitif olduğu için doğrudan kök alınabilir.

4

Bu özelliği sağlayan özel üçgeni belirle.

Hipotenüse ait yüksekliği, hipotenüsün 4'te 1'i olan dik üçgen 15-75-90 üçgenidir.

Bu, 15-75-90 üçgeninin ayırt edici özelliğidir (

h = \frac{1}{4} \cdot \text{hipotenüs}

).

5

En küçük açıyı seç.

Açılar

15^\circ

ve

75^\circ

'dir. En küçüğü

15^\circ

'dir.

Soru en küçük iç açıyı sormaktadır.

Key Concept

Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik (

h

) ile hipotenüs (

a

) arasında

h = a/4

bağıntısı varsa, bu üçgen 15-75-90 üçgenidir.

Hints

1

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı (

b^2 + c^2

) size tanıdık bir uzunluğu hatırlatmalı.

2

b^2 + c^2 = a^2

(Pisagor) eşitliğini kullanarak verilen denklemde

a

(hipotenüs) ve

h

(yükseklik) arasında bir ilişki kurun.

3

h = a/4

bağıntısını elde ettiğinizde, bu orana sahip olan özel dik üçgeni düşünün.

Practice More

15-75-90 üçgeninde alan hesaplaması soruları çözerek

h=a/4

kuralını pekiştirin.

Alternative Method

Geometrik İspat: Hipotenüse ait kenarortayı (

V_a

) çizin. Muhteşem üçlü gereği

V_a = a/2

'dir. Oluşan dik üçgende hipotenüs

V_a

, dik kenar

h

'dir. Eğer

h = a/4

ve

V_a = a/2

ise,

\sin(\alpha) = h/V_a = 1/2

olur. Buradan kenarortay ile yükseklik arasındaki açının

60^\circ

olduğu bulunur, bu da dar açıların farkının

60^\circ

olduğu anlamına gelir (

75^\circ

ve

15^\circ

).

Estimated Time:3m 0s

Question 16Question →

Bir ABC üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 7\sqrt{2}$ cm ve $|BC| = 17$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

13\sqrt{2}

20

24

25

26

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Doğru cevap 25 santimetredir.

Soruda verilen

135^\circ

geniş açısı, bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanmamız gerektiğini işaret eder. BC kenarı uzatılıp dışarıdan dikme indirildiğinde, hem bir

45-45-90

ikizkenar dik üçgeni hem de kenarları tam sayı olan

7-24-25

özel dik üçgeni elde edilir. Bu yöntemle hipotenüs uzunluğu hatasız hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

BC kenarını B yönünde doğrusal olarak uzatıp, A köşesinden bu uzantıya bir dikme ininiz.

Oluşan dikmenin ayağına H noktası diyelim.

m(\widehat{ABC}) = 135^\circ

olduğu için dış açı

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

olur.

Geniş açılı üçgenlerde özel açıyı (

45^\circ

) kullanabilmek için dış bölgede dik üçgen oluşturulur.

2

Oluşan ABH dik üçgeninde kenar uzunluklarını hesaplayınız.

ABH üçgeni

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgenidir. Hipotenüs

|AB| = 7\sqrt{2}

cm olduğundan, dik kenarlar

|AH| = 7

cm ve

|HB| = 7

cm olur.

45-45-90

üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün

\frac{1}{\sqrt{2}}

katıdır.

3

Büyük AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |AC| uzunluğunu bulunuz.

AHC üçgeninin dik kenarları:

|AH| = 7

cm ve

|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24

cm'dir. Bu

7-24-25

özel dik üçgenidir, dolayısıyla

|AC| = 25

cm bulunur.

Dik kenarları 7 ve 24 olan dik üçgenin hipotenüsü 25'tir (

7^2 + 24^2 = 25^2

).

Key Concept

Geniş açılı üçgenlerde dış açıdan yararlanarak özel dik üçgen (45-45-90) oluşturma ve 7-24-25 özel üçgeni.

Hints

1

135^\circ

geniş bir açıdır. Bu açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanabileceğiniz bir dik üçgen oluşturmayı deneyin.

2

BC kenarını sol tarafa (B yönüne) doğru uzatın ve A köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi kullanılarak da çözülebilir:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(135^\circ)

. Ancak bu yöntem işlem hatasına daha açıktır.

Estimated Time:2m 30s

Question 17Question →

Bir ABC dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. $[AC]$ kenarı üzerinde, A köşesine olan uzaklığı $[AB]$ kenarının uzunluğuna eşit olan bir D noktası işaretleniyor.

$|BD| = 6\sqrt{2}$ cm olduğuna göre, $|DC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

6

6\sqrt{3} - 6

6\sqrt{3}

6\sqrt{3} + 6

12

Show answer & explanation

Answer: $6\sqrt{3} - 6$

Answer

İstenen |DC| uzunluğu

6\sqrt{3} - 6

cm'dir.

Soruda verilen kurgu, bir 30-60-90 üçgeni (ABC) ile bir ikizkenar dik üçgenin (ABD) birleşimini içermektedir. Öncelikle

|BD|

hipotenüsü verilen ikizkenar dik üçgenden dik kenarlar (

|AB|=|AD|=6

) bulunur. Daha sonra büyük üçgenin 30-60-90 özelliği kullanılarak

|AC|=6\sqrt{3}

elde edilir. Son olarak

|DC|

, toplam uzunluktan

|AD|

çıkarılarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

ABD üçgeninin açılarını ve türünü belirle.

A açısı

90^\circ

ve

|AB|=|AD|

verildiği için, ABD üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Taban açıları

45^\circ

'dir.

Soruda verilen diklik ve eşitlik bilgileri üçgenin türünü belirlemek için kullanılır.

2

ABD üçgeninde pisagor bağıntısı veya özel üçgen kuralı ile |AB| uzunluğunu bul.

|BD| = |AB|\sqrt{2}

olduğundan,

6\sqrt{2} = |AB|\sqrt{2} \Rightarrow |AB| = 6

cm bulunur. Dolayısıyla

|AD| = 6

cm'dir.

45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır.

3

Büyük ABC üçgeninde (30-60-90) |AC| uzunluğunu hesapla.

ABC üçgeninde

30^\circ

'nin karşısı (

|AB|

) 6 cm ise,

60^\circ

'nin karşısı (

|AC|

) bunun

\sqrt{3}

katıdır.

|AC| = 6\sqrt{3}

cm.

30-60-90 üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar,

30^\circ

'nin karşısındakinin

\sqrt{3}

katıdır.

4

|DC| uzunluğunu bulmak için parça-bütün ilişkisini kullan.

|DC| = |AC| - |AD| = 6\sqrt{3} - 6

cm.

D noktası AC üzerinde olduğundan, tüm uzunluktan bilinen parça çıkarılır.

Key Concept

Özel açılı üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) iç içe kullanıldığında kenar bağıntıları arasındaki geçiş.

Hints

1

Şekli çizmeye çalışın: A açısı

90^\circ

olan bir dik üçgen ve içinde A köşesinden çıkan,

|AB|=|AD|

olacak şekilde bir D noktası.

2

|AB|=|AD|

ve A açısı dik olduğundan ABD üçgeninin açılarını düşünün.

|BD|

uzunluğunu kullanarak

|AB|

'yi bulabilirsiniz.

3

ABD bir ikizkenar dik üçgendir (45-45-90).

|AB|=6

cm bulunur. Büyük ABC üçgeni ise 30-60-90 üçgenidir.

Practice More

Benzer bir kurguyu 15-75-90 üçgeni içindeki özelliklerle çözen soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Trigonometri kullanarak:

\tan(60^\circ) = \frac{|AC|}{|AB|} = \sqrt{3}

bağıntısından

|AC|

bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 18Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ olarak verilmiştir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınmıştır. $m(\widehat{ADC}) = 45^\circ$ , $|BD| = 6$ cm ve $|DC| = 4$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç santimetredir?

4

2\sqrt{5}

5

4\sqrt{5}

2\sqrt{6}

Show answer & explanation

Answer: $2\sqrt{5}$

Answer

Doğru cevap

2\sqrt{5}

santimetredir.

Soru, bir dik üçgenin hipotenüsüne indirilen dikme (Öklid bağıntısı) ile özel açılı üçgenlerin (

45^\circ

) özelliklerinin birleştirilmesini gerektirir.

A

noktasından dikme indirildiğinde oluşan

45-45-90

üçgeni sayesinde yükseklik ve taban parçaları arasında bir ilişki kurulur. Öklid bağıntısı ile yükseklik

4

cm bulunur. Sonrasında Pisagor teoremi ile istenen kenar

2\sqrt{5}

cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

A

köşesinden

[BC]

kenarına bir

[AH]

dikmesi indirin.

[AH] \perp [BC]

ve

H \in [BC]

olur.

Dik üçgende metrik bağıntıları (Öklid) kullanabilmek ve

45^\circ

açısını bir dik üçgen içinde değerlendirmek için yükseklik çizilir.

2

Oluşan

AHD

üçgenini inceleyin.

m(\widehat{ADH}) = 45^\circ

olduğu için

\triangle AHD

ikizkenar dik üçgendir.

|AH| = |HD| = h

diyelim.

Bir açısı

45^\circ

olan dik üçgen ikizkenardır.

3

[BC]

üzerindeki parça uzunluklarını

h

cinsinden ifade edin.

|BH| = |BD| - |HD| = 6 - h

(Not: Geometrik tutarlılık için

H

noktası

B

ile

D

arasında olmalıdır).

|HC| = |HD| + |DC| = h + 4

.

Öklid bağıntısını uygulayabilmek için hipotenüsün ayırdığı parçaların (

p

ve

k

) uzunlukları belirlenmelidir.

4

Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) uygulayın.

h^2 = (6 - h) \cdot (h + 4) \Rightarrow h^2 = 6h + 24 - h^2 - 4h \Rightarrow 2h^2 - 2h - 24 = 0

.

Dik kenardan hipotenüse indirilen dikmenin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

5

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözün.

h^2 - h - 12 = 0 \Rightarrow (h - 4)(h + 3) = 0

. Uzunluk negatif olamayacağı için

h = 4

cm bulunur.

Yüksekliğin sayısal değerini bulmak için.

6

ABH

üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak

|AB|

'yi bulun.

|BH| = 6 - 4 = 2

cm.

|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20

.

|AB| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

cm.

Dik kenar uzunluğuna ulaşmak için.

Key Concept

Öklid Bağıntısı ve Özel Üçgenler (45-45-90)

Hints

1

45^\circ

açısını bir dik üçgenin içine alacak şekilde

A

köşesinden bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.

2

A

köşesinden

[BC]

kenarına indireceğiniz dikme (

h

),

45^\circ

'lik açı sayesinde tabanda ayırdığı bir parçaya eşit olacaktır (

h = p'

).

3

İndirdiğiniz dikmenin ayağına

H

deyin.

|AH| = |HD| = h

olacaktır. Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) kullanarak

h

değerini hesaplayın.

Practice More

Benzer bir soruyu

30^\circ

veya

60^\circ

açıları kullanarak ve

15-75-90

üçgeni özelliği (

h = 4a

) ekleyerek çözün.

Alternative Method

Kosinüs teoremi ile

\triangle ABD

veya

\triangle ADC

de kullanılabilir, ancak Öklid yöntemi bu soru için daha pratiktir.

Estimated Time:2m 30s

Question 19Question →

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ olarak verilmiştir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ABC})$ , $|AB| = 12$ cm ve $|AC| = 16$ cm olduğuna göre, $\frac{|BD|}{|DC|}$ oranı kaçtır?

\frac{9}{16}

\frac{3}{4}

1

\frac{4}{3}

\frac{16}{9}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{16}$

Answer

İstenen oran 9/16'dır.

Soruda verilen açı eşitliği,

AD

doğrusunun hipotenüse ait yükseklik olduğunu gizli bir şekilde ifade eder. Bir dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların oranı (

|BD|/|DC|

), bu parçalara komşu olan dik kenarların karelerinin oranına (

|AB|^2/|AC|^2

) eşittir. Bu özellik kullanılarak

(12/16)^2 = (3/4)^2 = 9/16

sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Açı ilişkilerini analiz et.

m(\widehat{DAC}) + m(\widehat{C}) = 90^\circ

olduğunu gör.

Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

kuralından,

m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 90^\circ

olduğu bilinmektedir. Verilen

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{B})

eşitliği kullanıldığında,

\triangle ADC

içinde

D

açısının

90^\circ

olduğu, yani

[AD] \perp [BC]

olduğu anlaşılır.

2

Öklid bağıntılarını yaz.

|AB|^2 = |BD| \cdot |BC|

ve

|AC|^2 = |DC| \cdot |BC|

.

Dik üçgende hipotenüse indirilen dikme (yükseklik) için Öklid dik kenar bağıntıları geçerlidir.

3

Oranlama işlemini yap.

\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|^2}{|AC|^2}

Her iki denklemi taraf tarafa oranlayarak

|BC|

uzunluğunu sadeleştiririz.

4

Sayısal değerleri yerine koy ve hesapla.

\frac{12^2}{16^2} = \frac{144}{256} = \frac{9}{16}

Verilen uzunlukların kareleri alınıp sadeleştirme işlemi yapılır (her iki taraf 16'ya bölünür).

Key Concept

Dik Üçgende Öklid Bağıntıları ve Açı Özellikleri

Hints

1

Üçgenin açılarının toplamının

180^\circ

olduğunu hatırlayarak,

m(\widehat{ADC})

açısının kaç derece olduğunu bulmaya çalışın.

2

Bulduğunuz açı değeri

D

noktasından indirilen doğrunun yükseklik olduğunu gösterir. Dik üçgende hipotenüse inen dikme için Öklid bağıntılarını hatırlayın.

3

Öklid'in dik kenar bağıntılarına göre, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafına düşen parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir (

c^2 = p \cdot a

). Bunu her iki kenar için yazıp oranlayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, öklid bağıntısında yükseklik formülü (

h^2 = p \cdot k

) kullanılarak yüksekliğin uzunluğunun sorulduğu bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak çözüm:

\triangle ABD \sim \triangle CBA

ve

\triangle ACD \sim \triangle BCA

benzerliklerini kullanarak da oran bulunabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 20Question →

Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ 'dir.

$m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AC| = 12$ cm olduğuna göre, $|BH|$ uzunluğu kaç cm'dir?

2

4

6

12

18

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

18 cm

Öncelikle

ABC

üçgeninde

30-60-90

özelliği kullanılır.

30^\circ

'nin karşısındaki kenar (

AC

) 6 cm ise,

90^\circ

'nin karşısındaki hipotenüs (

BC

)

2 \times 6 = 12

cm olur. Daha sonra Öklit bağıntısı (

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

) uygulanır:

6^2 = |HC| \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12|HC| \Rightarrow |HC| = 3

cm. Bizden

|BH|

istendiği için:

|BH| = |BC| - |HC| = 12 - 3 = 9

cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Büyük

ABC

üçgenindeki açıları ve kenarları belirle.

C

açısı

30^\circ

ve

A

açısı

90^\circ

olduğu için

B

açısı

60^\circ

'dir.

30-60-90

üçgeni özelliğinden,

30^\circ

'nin karşısındaki kenar (

AB

),

60^\circ

'nin karşısındaki kenarın (

AC

)

\frac{1}{\sqrt{3}}

katıdır.

|AB| = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}

cm.

30-60-90 üçgeni özelliklerini kullanarak dik kenarı bulmak.

2

ABC

üçgeninde hipotenüs uzunluğunu (

BC

) hesapla.

30^\circ

'nin karşısı (

AB

)

4\sqrt{3}

ise,

90^\circ

'nin karşısı (

BC

) bunun 2 katıdır.

|BC| = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}

cm. (Bu yolla da gidilebilir, ancak Öklit ile daha pratik çözülebilir). Alternatif Öklit:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|

yerine

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

kullanmak daha kolay olabilir. Biz

ABH

üçgenine odaklanalım.

Kenar uzunluklarını doğrulamak.

3

Küçük

ABH

üçgeninde (veya Öklit bağıntısı ile)

|BH|

uzunluğunu bul.

ABH

üçgeni de bir 30-60-90 üçgenidir.

\widehat{B} = 60^\circ

ve

\widehat{AHB}=90^\circ

olduğu için

\widehat{BAH} = 30^\circ

'dir. Hipotenüs

|AB| = 4\sqrt{3}

cm'dir.

60^\circ

'nin karşısındaki

|AH|

ve

30^\circ

'nin karşısındaki

|BH|

aranıyor.

|BH| = \frac{|AB|}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}

... Bir dakika, hesaplamayı kontrol edelim. Büyük üçgende:

AC=12

(

60^\circ

karşısı değil,

30^\circ

'nin komşusu).

\tan(30) = AB/12 \Rightarrow 1/\sqrt{3} = AB/12 \Rightarrow AB = 4\sqrt{3}

. Doğru.

BC

hipotenüsü

AB

'nin 2 katı değil,

30^\circ

karşısının 2 katı.

\sin(30) = AB/BC \Rightarrow 1/2 = 4\sqrt{3}/BC \Rightarrow BC=8\sqrt{3}

. Öklit Bağıntısı:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \Rightarrow (4\sqrt{3})^2 = |BH| \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow 48 = |BH| \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow |BH| = \frac{48}{8\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

. Seçeneklerde 18 yok. Soruyu tekrar kurgulayalım:

AC

hipotenüs değil dik kenar.

30^\circ

'nin karşısı

AB

olsun diye kurgu değişmeli veya sayılar ayarlanmalı. YENİ KURGU:

C=30

,

AC=12

.

AC

,

30

'un komşusudur.

30

'un karşısı

AB = 12 / \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

. Hipotenüs

BC = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}

. Öklit'ten

AC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow 144 = HC \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow HC = 18/\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

.

BH = BC - HC = 8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}

. Bu sayılar köklü çıkıyor, KPSS genelde tam sayı sever.

YENİ SAYILAR:

m(\widehat{C}) = 30^\circ

.

|AB|=6

cm (

30

'un karşısı). O zaman hipotenüs

|BC|=12

.

|AC| = 6\sqrt{3}

. Öklit:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \Rightarrow 36 = |BH| \cdot 12 \Rightarrow |BH| = 3

. Bu çok temiz.
Soru:

|AB|=6

,

\widehat{C}=30

.

|BH|

nedir? Cevap 3.
Seçenekler: 2, 3, 4, 6, 9.

Biraz daha zorlaştıralım:

|AC| = 12

cm (

60

'ın karşısı) verilirse?

|AB| = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

. Bu köklü.

Şöyle yapalım:

|HC| = 9

cm,

|BH| = 3

cm.

|AH|

nedir?

h^2 = p \cdot k \Rightarrow h^2 = 27 = 3\sqrt{3}

. Köklü.

En temiz senaryo:

|AB|=6

cm ve

m(\widehat{C})=30^\circ

verelim,

|BH|

soralım.
Adım 1: Büyük üçgen 30-60-90.

30

'un karşısı

AB=6

ise

90

'ın karşısı

BC=12

.
Adım 2: Öklit bağıntısı:

AB^2 = BH \cdot BC

.
Adım 3:

6^2 = |BH| \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12|BH| \Rightarrow |BH| = 3

.
Bu soru 3/5 zorluk için biraz kolay (tek aşama Öklit + temel 30-60-90).

Zorlaştırma:

|AC|=12

ve

m(\widehat{B})=60^\circ

verip

|BH|

soralım. (Aynı kapıya çıkar).

Zorlaştırma 2:

|AC| = 8\sqrt{3}

ve

m(\widehat{B}) = 30^\circ

.

30

'un karşısı

AC = 8\sqrt{3}

DEĞİL,

B

açısı

30

.

AC

,

30

'un karşısı.
O zaman

BC = 16\sqrt{3}

.
Öklit:

AC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow (8\sqrt{3})^2 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow 64 \cdot 3 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow 192 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow HC = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

.
Bu da köklü.

Tam sayı çıkan ve orta zorlukta bir senaryo:

m(\widehat{B}) = 15^\circ

,

m(\widehat{C}) = 75^\circ

. Hipotenüs

|BC| = 16

. Yükseklik

|AH|

nedir?
Kural: 15-75-90 üçgeninde

h = \text{hipotenüs} / 4

.

|AH| = 16 / 4 = 4

.
Bu özellik direkt bilgi sorusu olur.

Öklit + 30-60-90 kombinasyonuna dönelim ama sayıları ayarlayalım.

|AC| = 6

cm.

m(\widehat{B}) = 30^\circ

.

|HC|

nedir?
1. Büyük üçgen (

ABC

):

30

'un karşısı

AC=6

. Hipotenüs

BC=12

.
2. Öklit:

AC^2 = HC \cdot BC

.
3.

6^2 = HC \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12 \cdot HC \Rightarrow HC = 3

.
Soru

|BH|

'ı sorsun.

BH = BC - HC = 12 - 3 = 9

.
Bu gayet güzel, 2 aşamalı ve sayıları temiz.

Doğru cevap: 9.
Çeldiriciler:
- 3 (

HC

'yi bulup işaretleyenler).
- 6 (

AC

'ye eşit sananlar).
- 4 (İşlem hatası).
- 12 (Hipotenüsün tamamı).
-

6\sqrt{3}

(Diğer dik kenar).

Öklit bağıntısı ve özel üçgen özelliklerinin birlikte kullanılması.

Key Concept

Öklit Bağıntıları ve 30-60-90 Üçgeni

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method