Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel (Temel)
Verilen bir nn doğal sayısı için,
(n+1)!+n!=80⋅(n−1)! (n+1)! + n! = 80 \cdot (n-1)!
eşitliği sağlandığına göre, nn değeri kaçtır?
  1. 8Answer
  2. B
    7
  3. C
    9
  4. D
    10
  5. E
    20

Answer

Verilen denklemi sağlayan nn değeri 8'dir.
Denklemdeki (n+1)!(n+1)! ve n!n! ifadeleri (n−1)!(n-1)! cinsinden açılıp sadeleştirildiğinde n2+2n−80=0n^2 + 2n - 80 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü olan 8, eşitliği sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel ifadelerini en küçük olan (n−1)!(n-1)! cinsinden açalım.
(n+1)⋅n⋅(n−1)!+n⋅(n−1)!=80⋅(n−1)! (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! + n \cdot (n-1)! = 80 \cdot (n-1)!
Denklemin her iki tarafında ortak bir terim elde ederek sadeleştirme yapabilmek için.
2
Sol tarafı (n−1)!(n-1)! parantezine alalım.
(n−1)!⋅[(n+1)⋅n+n]=80⋅(n−1)! (n-1)! \cdot [(n+1) \cdot n + n] = 80 \cdot (n-1)!
Ortak çarpan parantezine alma kuralı uygulandı.
3
Her iki tarafı (n−1)!(n-1)! ifadesine bölerek sadeleştirelim.
(n+1)⋅n+n=80 (n+1) \cdot n + n = 80
nn bir doğal sayı olduğundan (n−1)!(n-1)! sıfırdan farklıdır ve sadeleşebilir.
4
Denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem haline getirelim.
n2+n+n=80⇒n2+2n−80=0 n^2 + n + n = 80 \Rightarrow n^2 + 2n - 80 = 0
Parantez dağıtıldı ve tüm terimler bir tarafa toplandı.
5
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
(n+10)(n−8)=0 (n+10)(n-8) = 0
Çarpımları -80, toplamları +2 olan sayılar +10 ve -8'dir.
6
Kökleri belirleyelim.
n=−10 n = -10 veya n=8 n = 8
nn bir doğal sayı olması gerektiği için n=8n = 8 değerini seçeriz.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme yapmak için büyük ifadeler küçük olanın cinsinden açılır (n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!).

Hints

1
Faktöriyel ifadelerini en küçük olanın ((n−1)! (n-1)! ) cinsinden yazmayı deneyin.
2
İfadeyi (n−1)!(n-1)! parantezine alıp sadeleştirdiğinizde karşınıza nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem çıkacaktır.
3
n2+2n−80=0n^2 + 2n - 80 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak pozitif olan kökü bulun.

Practice More

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında her zaman en küçük faktöriyel terimini baz alarak paranteze alma yöntemini kullanın.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan denklemde yerine koyarak da çözüm aranabilir. Örneğin 8 için 9!+8!=8!(9+1)=10⋅8!=10⋅8⋅7!=80⋅7!9! + 8! = 8!(9+1) = 10 \cdot 8! = 10 \cdot 8 \cdot 7! = 80 \cdot 7! olduğu görülerek hızlıca doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic