Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

Bir çemberin içinde, birbirini dik kesen [AB][AB] ve [CD][CD] kirişleri PP noktasında kesişmektedir. ∣AP∣=2|AP| = 2 cm, ∣PB∣=6|PB| = 6 cm ve ∣CP∣=3|CP| = 3 cm olduğuna göre, bu çemberin alanı kaç π\pi cm 2^2'dir?

  1. A
    13
  2. B
    15
  3. C
    16
  4. 654\frac{65}{4}Answer
  5. E
    494\frac{49}{4}

Answer

Çemberin alanı 654π\frac{65}{4}\pi cm 2^2'dir.
Çemberde kesişen kirişler için kuvvet bağıntısı (2⋅6=3⋅∣PD∣2 \cdot 6 = 3 \cdot |PD|) kullanılarak ∣PD∣=4|PD|=4 bulunur. Kirişler birbirine dik olduğundan, yarıçap hesabı için 4R2=a2+b2+c2+d24R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 formülü veya koordinat düzlemi mantığıyla merkez uzaklıkları kullanılabilir. R2=16.25R^2 = 16.25 bulunur, alan 654π\frac{65}{4}\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
Çemberde kuvvet bağıntısını kullanarak bilinmeyen parça uzunluğunu bul.
∣AP∣⋅∣PB∣=∣CP∣⋅∣PD∣⇒2⋅6=3⋅∣PD∣⇒∣PD∣=4|AP| \cdot |PB| = |CP| \cdot |PD| \Rightarrow 2 \cdot 6 = 3 \cdot |PD| \Rightarrow |PD| = 4 cm.
Kesişen kirişlerin parçalarının çarpımı birbirine eşittir.
2
Çemberin merkezinin kirişlere olan uzaklıklarını ve yarıçapı hesapla.
∣AB∣=8|AB| = 8 cm (orta nokta M, AM=4AM=4), ∣CD∣=7|CD|=7 cm (orta nokta N, CN=3.5CN=3.5). Merkezden kirişlere inilen dikmeler kirişleri ortalar. ∣MP∣=∣4−2∣=2|MP| = |4-2| = 2 ve ∣NP∣=∣3.5−3∣=0.5|NP| = |3.5-3| = 0.5.
Yarıçapı bulmak için merkezden kiriş uç noktasına pisagor uygulanır.
3
Pisagor bağıntısı ile yarıçapın karesini (R2R^2) hesapla.
Merkez OO, [AB][AB] kirişinin orta noktası MM olsun. OMBOMB dik üçgeninde: R2=∣OM∣2+∣MB∣2R^2 = |OM|^2 + |MB|^2. ∣OM∣|OM| mesafesi, PP noktasının diğer kirişe göre konumundan 0.50.5 cm bulunur. R2=(0.5)2+42=0.25+16=16.25=654R^2 = (0.5)^2 + 4^2 = 0.25 + 16 = 16.25 = \frac{65}{4}.
Çemberin alanı formülü için R2R^2 değeri gereklidir.
4
Alan formülünü uygula.
Alan = πR2=654π\pi R^2 = \frac{65}{4}\pi.
Dairenin alanı πR2\pi R^2 formülü ile bulunur.

Key Concept

Çemberde Kiriş Özellikleri ve Kuvvet Bağıntısı

Alternative Method

Pratik Yol: Birbirini dik kesen kirişler için 4R2=a2+b2+c2+d24R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 formülü kullanılabilir. a=2,b=6,c=3,d=4a=2, b=6, c=3, d=4 için 4R2=4+36+9+16=65⇒R2=65/44R^2 = 4 + 36 + 9 + 16 = 65 \Rightarrow R^2 = 65/4.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic