Examkin

Question

Difficulty: MediumÜslü İfadeler

Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki üslü denklemi yazmıştır:

6x+6x+6x3x+3x=96 \frac{6^x + 6^x + 6^x}{3^x + 3^x} = 96

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Answer
  4. D
    7
  5. E
    8

Answer

Eşitliği sağlayan x değeri 6'dır.
Verilen denklemde pay kısmı 3 tane 6x6^x ifadesinin toplamı olduğu için 3⋅6x3 \cdot 6^x olarak, payda kısmı ise 2 tane 3x3^x ifadesinin toplamı olduğu için 2⋅3x2 \cdot 3^x olarak yazılır. Bu durumda denklem 3⋅6x2⋅3x=96\frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 96 halini alır. 6x3x\frac{6^x}{3^x} ifadesi (63)x(\frac{6}{3})^x kuralından 2x2^x değerine eşittir. Denklem 32⋅2x=96\frac{3}{2} \cdot 2^x = 96 olarak düzenlendiğinde 2x=642^x = 64 bulunur. 64=2664 = 2^6 olduğundan x=6x = 6 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak düzenleyiniz.
3⋅6x2⋅3x=96 \frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 96
Ardışık toplama işlemleri, aynı sayının adediyle çarpımı şeklinde ifade edilebilir.
2
Kesirli ifadeyi üsleri aynı olan sayıların bölme kuralına göre sadeleştiriniz.
32⋅(63)x=96⇒32⋅2x=96 \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{6}{3}\right)^x = 96 \Rightarrow \frac{3}{2} \cdot 2^x = 96
axbx=(ab)x \frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x
kuralı uygulanarak tabanlar sadeleştirilir.
3
Üslü ifadeyi yalnız bırakmak için katsayıyı eşitliğin karşı tarafına geçiriniz.
2x=96⋅23⇒2x=64 2^x = 96 \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow 2^x = 64
Çarpım durumundaki bir sayı karşı tarafa bölme (tersi) olarak geçer.
4
Elde edilen sayıyı tabanlar aynı olacak şekilde üslü biçimde yazarak bilinmeyeni bulunuz.
2x=26⇒x=6 2^x = 2^6 \Rightarrow x = 6
Tabanları eşit olan üslü denklemlerde üsler de birbirine eşittir.

Key Concept

Üslü ifadelerde toplama işlemi ve tabanları farklı üsleri aynı olan ifadelerde bölme kuralı.

Hints

1
Denklemin sol tarafındaki pay ve payda kısımlarını çarpma işlemine çevirmeyi deneyin.
2
6x6^x ifadesini 2x⋅3x2^x \cdot 3^x şeklinde parçalayarak paydadaki 3x3^x ile sadeleştirebilirsiniz.
3
Tüm düzenlemelerden sonra elinizde 32⋅2x=96\frac{3}{2} \cdot 2^x = 96 ifadesi kalmalıdır.

Practice More

Üslü denklemlerde ortak çarpan parantezine alma yöntemini pekiştirmek için benzer yapıda ancak farklı tabanlara sahip sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

6x6^x ifadesi (2⋅3)x=2x⋅3x(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x olarak açılabilir. Bu durumda pay 3⋅2x⋅3x3 \cdot 2^x \cdot 3^x olur. Paydadaki 2⋅3x2 \cdot 3^x ile 3x3^x ifadeleri birbirini götürür. Geriye 3⋅2x2=96\frac{3 \cdot 2^x}{2} = 96 kalır ve buradan daha hızlı bir şekilde sonuca gidilebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic