Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+1)!+n!(n−1)!−3n=72 \frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!} - 3n = 72
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 9Answer
  4. D
    10
  5. E
    12

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 9'dur.
Verilen ifadede faktöriyeller en küçük terim olan (n−1)!(n-1)! parantezine alınarak sadeleştirildiğinde n2+2nn^2 + 2n elde edilir. Bu ifadeden 3n3n çıkarıldığında oluşan n2−n−72=0n^2 - n - 72 = 0 denkleminin pozitif kökü 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Kesirli ifadenin pay kısmındaki faktöriyelleri en küçük olan (n−1)!(n-1)! cinsinden ifade et.
(n+1)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)! (n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! ve n!=n⋅(n−1)! n! = n \cdot (n-1)!
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Payı (n−1)!(n-1)! ortak parantezine al ve ifadeyi sadeleştir.
(n−1)!⋅[(n+1)n+n](n−1)!=(n+1)n+n \frac{(n-1)! \cdot [(n+1)n + n]}{(n-1)!} = (n+1)n + n
Pay ve paydadaki (n−1)!(n-1)! çarpanları birbirini götürür.
3
Elde edilen cebirsel ifadeyi düzenle.
(n2+n)+n=n2+2n (n^2 + n) + n = n^2 + 2n
Parantez dağıtılarak benzer terimler toplanır.
4
Ana denklemde yerine yaz ve oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.
(n2+2n)−3n=72⇒n2−n−72=0 (n^2 + 2n) - 3n = 72 \Rightarrow n^2 - n - 72 = 0
Elde edilen ifade sorudaki yerine yazılır ve denklem sıfıra eşitlenir.
5
Denklemin köklerini bul ve doğal sayı olanı seç.
(n−9)(n+8)=0⇒n=9 veya n=−8 (n-9)(n+8) = 0 \Rightarrow n=9 \text{ veya } n=-8 . nn doğal sayı olduğu için n=9 n=9
Negatif sayıların faktöriyeli tanımlı değildir (ve soruda n doğal sayı denmiştir).

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

Hints

1
Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ve n!n! ifadelerini, paydadaki (n−1)!(n-1)! cinsinden yazmayı dene.
2
(n+1)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! eşitliğini kullanarak payı (n−1)!(n-1)! parantezine al.
3
Sadeleştirme sonrası elde edeceğin n2−n−72=0n^2 - n - 72 = 0 denklemini çöz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, paydasında (n−2)!(n-2)! bulunan sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic