Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel (Temel)

nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,

(n+2)!+(n+1)!(n+1)!−n!=152 \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+1)! - n!} = \frac{15}{2}

olduğuna göre, nn değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

Verilen denklem sadeleştirildiğinde n değeri 2 olarak bulunur.
İfadenin payı (n+1)!(n+1)! parantezine alındığında (n+1)!(n+3)(n+1)!(n+3), paydası ise n!n! parantezine alındığında n!⋅nn! \cdot n elde edilir. (n+1)!(n+1)! ifadesi (n+1)⋅n!(n+1) \cdot n! şeklinde açılıp n!n! terimleri sadeleştirildiğinde denklem (n+1)(n+3)/n=15/2(n+1)(n+3)/n = 15/2 halini alır. Bu denklem çözüldüğünde n tam sayısı 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak faktöriyel parantezine alın.
Pay: (n+1)!(n+2+1)=(n+1)!(n+3)(n+1)!(n+2+1) = (n+1)!(n+3)
Payda: n!(n+1−1)=n!⋅nn!(n+1-1) = n! \cdot n
İfadedeki karmaşıklığı azaltmak ve sadeleştirme yapabilmek için en küçük faktöriyel terimi cinsinden yazmak gerekir.
2
Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ifadesini n!n! cinsinden açarak sadeleştirme yapın.
n!(n+1)(n+3)n!⋅n=(n+1)(n+3)n\frac{n!(n+1)(n+3)}{n! \cdot n} = \frac{(n+1)(n+3)}{n}
n!n! terimleri birbirini götürerek rasyonel bir ifade elde edilmesini sağlar.
3
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyin.
n2+4n+3n=152⇒2n2+8n+6=15n\frac{n^2 + 4n + 3}{n} = \frac{15}{2} \Rightarrow 2n^2 + 8n + 6 = 15n
Kesirli ifadeyi standart bir ikinci dereceden denklem formuna getirmek için bu işlem uygulanır.
4
Denklemi sıfıra eşitleyin ve çarpanlarına ayırın.
2n2−7n+6=0⇒(2n−3)(n−2)=02n^2 - 7n + 6 = 0 \Rightarrow (2n - 3)(n - 2) = 0
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
5
Bulunan köklerden pozitif tam sayı olanı belirleyin.
n1=32n_1 = \frac{3}{2} ve n2=2n_2 = 2. nn bir tam sayı olduğu için n=2n = 2.
Soruda n değerinin bir pozitif tam sayı olması gerektiği belirtilmiştir.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler en küçük olanın parantezine alınır.

Hints

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük olan n!n! cinsinden yazmayı deneyin.
2
(n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n! dönüşümlerini yapın.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde nn cinsinden rasyonel bir ifade kalacak, içler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulun.

Practice More

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında her zaman en küçük terimi referans alarak paranteze alma işlemini pekiştirmek için benzer oran soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan denklemde yerine koyarak deneme-yanılma yoluyla hangi değerin 7,5 sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz. Örneğin n=2n=2 için (24+6)/(6−2)=30/4=7,5(24+6)/(6-2) = 30/4 = 7,5 olduğu görülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic