Examkin

Question

Difficulty: HardÜslü İfadeler

a,ba, b ve cc gerçel sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

a=436a = 4^{36}

b=2724b = 27^{24}

c=12516c = 125^{16}

Buna göre a,ba, b ve cc sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. a < c < bAnswer
  2. B
    a < b < c
  3. C
    c < a < b
  4. D
    b < a < c
  5. E
    c < b < a

Answer

Sayıların küçükten büyüğe sıralanışı a < c < b şeklindedir.
Sayıları karşılaştırmak için önce tabanları asal hale getirdik (a=272,b=372,c=548a=2^{72}, b=3^{72}, c=5^{48}). Daha sonra üslerin ortak katı olan 24 parantezine alarak taban büyüklüklerini (8,27,258, 27, 25) kıyasladık. 8 en küçük, 27 en büyük olduğu için doğru sıralama a < c < b şeklinde bulundu.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıların tabanlarını asal çarpanlarına ayırarak üslü biçimde yaz.
a=(22)36=272a = (2^2)^{36} = 2^{72}

b=(33)24=372b = (3^3)^{24} = 3^{72}

c=(53)16=548c = (5^3)^{16} = 5^{48}
Sayıları karşılaştırabilmek için ya tabanların ya da üslerin eşitlenmesi gerekir. İlk adımda asal tabanlara geçmek işlemi kolaylaştırır.
2
Üslerin en büyük ortak bölenini (EBOB) bul.
EBOB(72, 72, 48) = 24
Tüm ifadeleri aynı dış kuvvet (24) altında yazarak tabanları karşılaştırılabilir hale getirmek için ortak bir bölen gereklidir.
3
Her sayıyı 24. kuvvet parantezinde yeniden düzenle.
a=272=(23)24=824a = 2^{72} = (2^3)^{24} = 8^{24}

b=372=(33)24=2724b = 3^{72} = (3^3)^{24} = 27^{24}

c=548=(52)24=2524c = 5^{48} = (5^2)^{24} = 25^{24}
Üssün üssü kuralını (xm⋅n=(xm)nx^{m \cdot n} = (x^m)^n) tersten uygulayarak dış üsleri eşitleriz.
4
Parantez içindeki tabanları karşılaştırarak sıralamayı belirle.
Tabanlar: 8,27,258, 27, 25.
8<25<278 < 25 < 27 olduğu için 824<2524<27248^{24} < 25^{24} < 27^{24} olur.
Buradan: a<c<ba < c < b
Pozitif tabanlı üslü sayılarda, üsler eşitse tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.

Key Concept

Üslü sayılarda sıralama yapılırken, tabanlar veya üsler eşitlenerek büyüklük karşılaştırması yapılır. Farklı taban ve üsse sahip büyük sayılar için en etkili yöntem, üslerin EBOB'unu alarak sayıları (Ak)n(A^k)^n formatına getirmektir.

Hints

1
Sayıların tabanlarını (4, 27, 125) asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazmayı deneyin.

Practice More

Üslü sayılarda sıralama konusunu pekiştirmek için, negatif tabanlı sayıların sıralanması sorularına göz atabilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic