Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

Dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin, çevrel çemberinin merkezi ile iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzaklık kaç cm'dir?

  1. A
    2\sqrt{2}
  2. B
    2
  3. 5\sqrt{5}Answer
  4. D
    3
  5. E
    222\sqrt{2}

Answer

İki merkez arasındaki uzaklık \sqrt{5} cm'dir.
Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgenin hipotenüsü 10'dur. Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (R=5). İç teğet çemberin merkezi ise dik köşeden (r, r) yani (2, 2) koordinatındadır. Koordinat sisteminde dik köşeyi (0,0) kabul edersek, İç Merkez I(2,2) ve Çevrel Merkez O(4,3) olur. İki nokta arası uzaklık formülünden: \sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Hipotenüs uzunluğunu ve çevrel çemberin yarıçapını (R) belirle.
Hipotenüs = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 cm. Çevrel çemberin yarıçapı R = 5 cm (hipotenüsün yarısı).
Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır ve yarıçap hipotenüsün yarısıdır.
2
İç teğet çemberin yarıçapını (r) hesapla.
r = (a + b - c) / 2 formülünden, r = (6 + 8 - 10) / 2 = 2 cm.
Dik üçgenlerde iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.
3
Merkezler arası uzaklığı (d) hesapla. (Yöntem 1: Euler Teoremi)
d² = R(R - 2r) formülünde yerine koyarsak: d² = 5(5 - 2(2)) = 5(1) = 5. Buradan d = \sqrt{5} cm.
Üçgenlerde çevrel çember merkezi ile iç teğet çember merkezi arasındaki uzaklık Euler teoremi ile hesaplanabilir.

Key Concept

Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi ile iç teğet çemberinin merkezi arasındaki ilişki ve Euler teoremi.

Hints

1
Önce 6-8-10 üçgeninin hipotenüsünü bulun. Çevrel çemberin merkezi dik üçgende nerede bulunur?
2
Çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (R=5). İç teğet çemberin yarıçapını r = (a+b-c)/2 formülüyle bulabilirsiniz.
3
Dik köşeyi orijin (0,0) kabul edin. İç teğet çemberin merkezi (r, r), çevrel çemberin merkezi ise (a/2, b/2) değildir; hipotenüsün ortasıdır. Koordinatları belirleyip uzaklık formülünü kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu çeşitkenar bir üçgen için Euler teoremini kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Koordinat sistemi yerine doğrudan Euler Teoremi kullanılabilir: d² = R(R - 2r). Burada R=5 ve r=2 değerleri yerine konularak d² = 5(5-4) = 5 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic