Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
xx, 11'den büyük bir doğal sayı olmak üzere,
(x+1)!+(x−1)!x3−1=120 \frac{(x+1)! + (x-1)!}{x^3 - 1} = 120
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Answer
  4. D
    8
  5. E
    9

Answer

Verilen eşitliği sağlayan sayı 7'dir.
Verilen ifadede pay kısmı (x−1)!(x-1)! parantezine alındığında (x2+x+1)(x^2+x+1) çarpanı elde edilir. Payda ise küp farkı özdeşliği ile (x−1)(x2+x+1)(x-1)(x^2+x+1) şeklinde açılır. Bu iki çarpan sadeleştiğinde geriye (x−1)!x−1\frac{(x-1)!}{x-1} kalır. Bu ifade (x−2)!(x-2)!'e eşittir. (x−2)!=120(x-2)! = 120 eşitliğinden x−2=5x-2=5 ve buradan x=7x=7 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
(x+1)!+(x−1)!=(x−1)!⋅[(x+1)x+1]=(x−1)!⋅(x2+x+1)(x+1)! + (x-1)! = (x-1)! \cdot [(x+1)x + 1] = (x-1)! \cdot (x^2 + x + 1)
Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimleri ortak paranteze almak gerekir.
2
Payda kısmındaki küp farkı özdeşliğini aç.
x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)
Pay kısmındaki (x2+x+1)(x^2 + x + 1) çarpanı ile sadeleştirme yapabilmek için paydanın çarpanlarına ayrılması gerekir.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştir.
(x−1)!⋅(x2+x+1)(x−1)(x2+x+1)=(x−1)!x−1 \frac{(x-1)! \cdot (x^2 + x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \frac{(x-1)!}{x-1}
Ortak çarpanlar birbirini götürür.
4
Kalan ifadeyi faktöriyel tanımına göre düzenle ve sonucu bul.
(x−1)!x−1=(x−2)! \frac{(x-1)!}{x-1} = (x-2)!
(x−2)!=120(x-2)! = 120
120=5!120 = 5! olduğu için x−2=5⇒x=7x-2 = 5 \Rightarrow x=7
n!n=(n−1)!\frac{n!}{n} = (n-1)! kuralı uygulanır ve faktöriyel değeri bilinen sayıya eşitlenir.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve Çarpanlara Ayırma

Hints

1
Pay kısmındaki (x+1)!(x+1)! ifadesini (x+1)⋅x⋅(x−1)!(x+1) \cdot x \cdot (x-1)! şeklinde yazarak (x−1)!(x-1)! parantezine almayı deneyin.
2
Payda kısmındaki x3−1x^3 - 1 ifadesini a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.
3
Sadeleştirme sonucunda elde ettiğiniz (x−1)!x−1\frac{(x-1)!}{x-1} ifadesinin (x−2)!(x-2)!'e eşit olduğunu hatırlayın.

Practice More

Küp toplamı özdeşliği içeren benzer bir faktöriyel sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Seçenekleri deneyerek çözmek de mümkündür. Örneğin x=7x=7 için:
Pay: 8!+6!=40320+720=410408! + 6! = 40320 + 720 = 41040
Payda: 73−1=343−1=3427^3 - 1 = 343 - 1 = 342
Bölüm: 41040/342=12041040 / 342 = 120. Eşitlik sağlandığı için cevap 7'dir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic