Examkin

Question

Difficulty: MediumÇember ve Daire

Bir belediyenin altyapı çalışmaları kapsamında kullanılan dairesel kesite sahip bir atık su borusunun yarıçapı 66 birimdir. Borunun içinden geçen suyun üst yüzeyinin genişliği (kiriş uzunluğu) 636\sqrt{3} birim olarak ölçülmüştür.

Borunun yarısından azının dolu olduğu bilindiğine göre, borunun dolu kısmının kesit alanı kaç birimkaredir?

  1. 12π−9312\pi - 9\sqrt{3}Answer
  2. B
    12π+9312\pi + 9\sqrt{3}
  3. C
    6π−936\pi - 9\sqrt{3}
  4. D
    24π−9324\pi - 9\sqrt{3}
  5. E
    36π−12336\pi - 12\sqrt{3}

Answer

Dolu kısmın alanı 12π−9312\pi - 9\sqrt{3} birimkaredir.
Soruda verilen su dolu kısım bir 'daire kesmesi'dir. Bu alanı bulmak için, kirişin uç noktalarını merkeze birleştirerek oluşan daire diliminin alanından, ortada kalan üçgenin alanı çıkarılmalıdır. Kenar uzunlukları 6,6,636, 6, 6\sqrt{3} olan üçgenin tepe açısı 120∘120^\circ'dir. 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanı 12π12\pi, üçgenin alanı ise 939\sqrt{3} birimkaredir. Sonuç bu iki değerin farkıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilenleri geometrik şekle dök ve üçgen oluştur.
Merkez OO, yarıçap r=6r=6 ve kiriş ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3}. OABOAB üçgeni oluşur.
Daire kesmesi (dolu kısım) alanını bulmak için daire dilimi ve üçgen alanına ihtiyaç vardır.
2
Merkez açıyı hesapla.
Kenarlar 66, 66 ve 636\sqrt{3} olduğundan bu bir 30−30−12030-30-120 üçgenidir. Merkez açı 120∘120^\circ'dir.
x3x\sqrt{3} özelliği, ikizkenar üçgende tepe açısının 120∘120^\circ olduğunu gösterir.
3
Daire diliminin alanını hesapla.
Alan = π⋅62⋅120360=36π⋅13=12π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{120}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{3} = 12\pi.
Daire dilimi alanı formülü: πr2α360\pi r^2 \frac{\alpha}{360}.
4
Üçgenin alanını hesapla.
Alan(OABOAB) = 12⋅6⋅6⋅sin⁡(120∘)=18⋅32=93\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(120^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.
Sinüs alan formülü: 12a⋅b⋅sin⁡(α)\frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\alpha).
5
Dolu kısmın (daire kesmesi) alanını bul.
12π−9312\pi - 9\sqrt{3}.
Daire kesmesi alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Key Concept

Daire Kesmesi Alanı

Hints

1
Suyun üst yüzeyi bir kiriş oluşturur. Bu kirişin uçlarını dairenin merkeziyle birleştirerek bir üçgen ve daire dilimi elde etmeye çalışın.
2
Oluşan üçgenin kenarları yarıçap (66) ve kiriş (636\sqrt{3}) uzunluklarıdır. Bu kenar uzunlukları size merkez açının kaç derece olduğunu söyler (30−30−12030-30-120 üçgenini hatırlayın).
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic