Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
n!−(n−1)!(n+1)!=16 \frac{n! - (n-1)!}{(n+1)!} = \frac{1}{6}
eşitliğini sağlayan farklı nn değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    7

Answer

Eşitliği sağlayan değerler 2 ve 3 olup, toplamları 5'tir.
Verilen ifadede pay ve payda (n−1)!(n-1)! parantezinde düzenlendiğinde ifade n−1n(n+1)=16\frac{n-1}{n(n+1)} = \frac{1}{6} haline gelir. Buradan elde edilen n2−5n+6=0n^2 - 5n + 6 = 0 denkleminin kökleri n=2n=2 ve n=3n=3'tür. Bu değerlerin toplamı 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
n!−(n−1)!=n(n−1)!−1(n−1)!=(n−1)!(n−1)n! - (n-1)! = n(n-1)! - 1(n-1)! = (n-1)!(n-1)
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler çarpım durumuna getirilmelidir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi pay ile sadeleşecek şekilde aç.
(n+1)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!
Paydaki (n−1)!(n-1)! terimini yok etmek için payda benzetilir.
3
Kesri sadeleştir ve denklemi kur.
(n−1)!(n−1)(n+1)n(n−1)!=n−1n(n+1)=16\frac{(n-1)!(n-1)}{(n+1)n(n-1)!} = \frac{n-1}{n(n+1)} = \frac{1}{6}
Ortak çarpanlar sadeleştirilerek cebirsel denklem elde edilir.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden denklemi oluştur ve kökleri bul.
6(n−1)=n2+n⇒6n−6=n2+n⇒n2−5n+6=06(n-1) = n^2 + n \Rightarrow 6n - 6 = n^2 + n \Rightarrow n^2 - 5n + 6 = 0. Kökler: (n−3)(n−2)=0⇒n=3(n-3)(n-2)=0 \Rightarrow n=3 ve n=2n=2.
nn değerlerini bulmak için denklem çözülür.
5
Bulunan değerlerin toplamını hesapla.
2+3=52 + 3 = 5
Soruda değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

Hints

1
İfadedeki tüm terimleri, en küçük faktöriyel olan (n−1)!(n-1)! cinsinden yazmaya çalışın.
2
Payı (n−1)!(n-1)! parantezine aldığınızda (n−1)(n-1) çarpanı, paydayı açtığınızda ise (n+1)n(n+1)n çarpanı kalacaktır.
3
Sadeleştirme sonrası n−1n2+n=16\frac{n-1}{n^2+n} = \frac{1}{6} denklemini çözün.

Practice More

Benzer sadeleştirme mantığı içeren permütasyon formülü soruları çözülebilir.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardaki veya küçük tam sayıları deneyerek de gidilebilir. Örneğin n=2n=2 için 2−16=16\frac{2-1}{6}=\frac{1}{6} sağlar. n=3n=3 için 6−224=424=16\frac{6-2}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6} sağlar.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic