Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
n!(n−2)!+(n+1)!n!=145 \frac{n!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)!}{n!} = 145
eşitliği veriliyor. Buna göre, bu eşitliği sağlayan nn değeri kaçtır?
  1. A
    10
  2. B
    11
  3. 12Answer
  4. D
    13
  5. E
    14

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 12'dir.
Verilen eşitlikte her iki terim ayrı ayrı sadeleştirilir. İlk terim n!(n−2)!=n(n−1)\frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1) olur. İkinci terim (n+1)!n!=n+1\frac{(n+1)!}{n!} = n+1 olur. Bu iki ifade toplandığında n2−n+n+1=145n^2 - n + n + 1 = 145 denklemi elde edilir. Buradan n2=144n^2 = 144 bulunur ve nn pozitif olduğu için cevap 12'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemdeki faktöriyel ifadelerini sadeleşecek şekilde aç.
n(n−1)(n−2)!(n−2)!+(n+1)n!n!=145\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)n!}{n!} = 145
Faktöriyel tanımı gereği n!=n(n−1)(n−2)!n! = n(n-1)(n-2)! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n! şeklinde yazılabilir.
2
Kesirleri sadeleştir.
n(n−1)+(n+1)=145n(n-1) + (n+1) = 145
Pay ve paydadaki ortak faktöriyel çarpanları birbirini götürür.
3
İfadeyi düzenle ve denklemi çöz.
n2−n+n+1=145⇒n2+1=145n^2 - n + n + 1 = 145 \Rightarrow n^2 + 1 = 145
Parantez dağıtılıp toplama işlemi yapıldığında −n-n ve +n+n birbirini sıfırlar.
4
nn değerini bul.
n2=144⇒n=12n^2 = 144 \Rightarrow n = 12
nn pozitif bir tam sayı olduğu için 144144'ün pozitif karekökü alınır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayı küçüğüne benzetilerek açılır ve sadeleştirme yapılır. Ardından elde edilen cebirsel denklem çözülür.

Hints

1
Faktöriyel ifadelerini kesirden kurtarmak için büyük olan faktöriyeli paydadaki küçük olana kadar açın. Örneğin: n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!
2
Birinci kesir n(n−1)n(n-1), ikinci kesir ise n+1n+1 şeklinde sadeleşir. Bu ifadeleri toplayarak denklemi kurun.
3
n(n−1)+(n+1)=145n(n-1) + (n+1) = 145 denklemini düzenlediğinizde n2+1=145n^2 + 1 = 145 elde edeceksiniz. Hangi sayının karesinin 1 fazlası 145 eder?

Practice More

Benzer mantıkla (n+2)!n!−(n+1)!(n−1)!=K\frac{(n+2)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = K tipindeki soruları çözerek sadeleştirme becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek çözüm: Sırayla şıklardaki değerleri n yerine koyun. C şıkkı (12) için: 12!10!+13!12!=(12⋅11)+13=132+13=145\frac{12!}{10!} + \frac{13!}{12!} = (12 \cdot 11) + 13 = 132 + 13 = 145. Eşitlik sağlandığı için doğru cevap 12'dir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic