Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri
A={x∈Z∣20<x<200, x, 3 ile tam bo¨lu¨nu¨r.}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 20 < x < 200, \text{ x, 3 ile tam bölünür.}\}
B={x∈Z∣30≤x≤220, x, 4 ile tam bo¨lu¨nu¨r.}B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 30 \le x \le 220, \text{ x, 4 ile tam bölünür.}\}
kümeleri veriliyor. Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin elemanlarından kaç tanesi 12 ile tam bölünemez?
  1. A
    74
  2. 77Answer
  3. C
    80
  4. D
    94
  5. E
    108

Answer

Verilen A∪BA \cup B kümesinin elemanlarından 77 tanesi 12 ile tam bölünemez.
Verilen aralıklarda 3'ün katı olan 60 elemanlı A kümesi ile 4'ün katı olan 48 elemanlı B kümesinin birleşimi, ortak elemanlar olan 12'nin katları (14 tane) çıkarıldığında 94 elemandan oluşur. Bu 94 eleman arasından 12 ile bölünebilenler; A'nın içinde olup 12'ye bölünen 15 eleman ve B'nin içinde olup 12'ye bölünen 16 elemanın birleşimidir. Bu birleşimde toplam 17 farklı sayı (24'ten 216'ya kadar olan 12'nin katları) bulunur. Dolayısıyla 94 - 17 = 77 eleman 12 ile bölünemez.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A)=60s(A) = 60
20<x<20020 < x < 200 aralığındaki 3'ün katları: 21,24,…,19821, 24, \dots, 198 olup terim sayısı 198−213+1=60\frac{198-21}{3} + 1 = 60 tanedir.
2
BB kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(B)=48s(B) = 48
30≤x≤22030 \le x \le 220 aralığındaki 4'ün katları: 32,36,…,22032, 36, \dots, 220 olup terim sayısı 220−324+1=48\frac{220-32}{4} + 1 = 48 tanedir.
3
A∩BA \cap B kümesinin eleman sayısını hesapla.
s(A∩B)=14s(A \cap B) = 14
A∩BA \cap B, hem 3 hem 4 ile (yani 12 ile) bölünen ve ortak aralıkta (30≤x<20030 \le x < 200) olan sayılardır: 36,48,…,19236, 48, \dots, 192 olup terim sayısı 192−3612+1=14\frac{192-36}{12} + 1 = 14 tanedir.
4
s(A∪B)s(A \cup B) değerini hesapla.
s(A∪B)=94s(A \cup B) = 94
Birleşim formülünden s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=60+48−14=94s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 60 + 48 - 14 = 94 bulunur.
5
A∪BA \cup B içindeki 12 ile tam bölünen elemanları belirle.
17 tane
A∪BA \cup B içindeki 12'nin katları: AA içindekiler (24,36,…,192→1524, 36, \dots, 192 \to 15 tane) veya BB içindekilerdir (36,…,216→1636, \dots, 216 \to 16 tane). Bu iki grubun birleşimi {24,36,…,192,204,216}\{24, 36, \dots, 192, 204, 216\} olup toplam 17 farklı sayıdır.
6
Koşula uygun eleman sayısını bul.
77
Tüm birleşim kümesi elemanlarından 12'ye bölünenleri çıkarırsak: 94−17=7794 - 17 = 77 elde edilir.

Key Concept

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemleri ile bölünebilme özelliklerinin birlikte kullanımı.

Alternative Method

Doğrudan bölünemeyenleri saymak için: A'daki 12'ye bölünemeyen 3'ün katları (60−15=4560 - 15 = 45) ile B'deki 12'ye bölünemeyen 4'ün katlarını (48−16=3248 - 16 = 32) toplamak yeterlidir. Bu iki grup ayrık kümeler olduğu için (çünkü kesişimdekilerin hepsi 12'ye bölünür), sonuç doğrudan 45+32=7745 + 32 = 77 olur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

More questions from this topic