Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Kavramı ve Gösterimi
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA kümesi,
A={x∈Z  |  x2+2x+60x+2∈Z}A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \;\middle|\; \frac{x^2 + 2x + 60}{x + 2} \in \mathbb{Z} \right\}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

  1. -48Answer
  2. B
    -24
  3. C
    0
  4. D
    24
  5. E
    60

Answer

A kümesinin elemanlarının toplamı -48'dir.
Verilen küme tanımına göre x2+2x+60x+2\frac{x^2+2x+60}{x+2} ifadesi x+60x+2x + \frac{60}{x+2} olarak sadeleşir. Bu ifadenin tam sayı olması için x+2x+2'nin 60'ın böleni olması gerekir. 60 sayısının 24 adet tam sayı böleni vardır (kk). Her bölen için x=k−2x = k-2 değeri elde edilir. Bölenlerin toplamı (sumk\\sum k) 0 olduğundan, tüm xx değerlerinin toplamı 0−2times24=−480 - 2 \\times 24 = -48 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi polinom bölmesi veya çarpanlara ayırma yöntemiyle basitleştirin.
x2+2x+60x+2=x(x+2)+60x+2=x+60x+2\frac{x^2 + 2x + 60}{x + 2} = \frac{x(x + 2) + 60}{x + 2} = x + \frac{60}{x + 2}
İfadenin tam sayı olma şartını daha kolay analiz edebilmek için tam kısım ve kesirli kısım ayrılmalıdır.
2
İfadenin tam sayı olması için gereken koşulu belirleyin.
x+60x+2∈Zx + \frac{60}{x + 2} \in \mathbb{Z} olması için, 60x+2\frac{60}{x + 2} ifadesinin tam sayı olması gerekir. Yani (x+2)(x + 2), 60 sayısının bir tam sayı böleni olmalıdır.
xx bir tam sayı olduğundan, sonucun tam sayı olması için kesirli kısmın da tam sayı olması şarttır.
3
Bölenler kümesini ve xx değerlerinin toplamını hesaplayın.
x+2=kx + 2 = k diyelim, burada kk, 60'ın bir tam sayı bölenidir. Buradan x=k−2x = k - 2 bulunur. İstenen toplam: ∑x=∑(k−2)\sum x = \sum (k - 2).
Her bir bölen değeri için bir xx değeri üretilecektir. Tüm xx değerlerinin toplamı istenmektedir.
4
Toplam formülünü uygulayarak sonucu bulun.
60 sayısının tam sayı bölenleri simetriktir (örn. 11 ve −1-1). Bu nedenle ∑k=0\sum k = 0 olur. 60'ın toplam bölen sayısı 24'tür (Pozitif bölen sayısı 12 ×\times 2). Toplam =∑(k−2)=∑k−∑2=0−(24×2)=−48= \sum (k - 2) = \sum k - \sum 2 = 0 - (24 \times 2) = -48.
Bir sayının tüm tam sayı bölenlerinin toplamı 0'dır. Toplam sembolü dağıtıldığında sabit terim bölen sayısı kadar toplanır.

Key Concept

Bir kümenin ortak özellik yöntemiyle tanımlanması ve tam sayı bölenleri analizi.

Hints

1
İfadeyi x+Ax+2x + \frac{A}{x+2} şeklinde basitleştirmek çözümünüzü kolaylaştıracaktır.
2
Tam sayılar kümesinde (mathbbZ\\mathbb{Z}) çalıştığınızı unutmayın; bölenler negatif de olabilir.
3
x+2x+2 değeri 60'ın tüm tam sayı bölenlerini alır. Bir sayının pozitif ve negatif tüm bölenlerinin toplamı 0'dır, ancak her xx değeri bu bölenlerden 2 eksiktir.

Practice More

Benzer mantıkla, B={x∈N∣… }B = \{ x \in \mathbb{N} \mid \dots \} şeklinde tanımlı ve doğal sayı kısıtlaması olan bir kümenin eleman sayısını bulmaya çalışın.

Alternative Method

Tüm bölenleri tek tek listelemek yerine, 60=22⋅31⋅5160 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 asal çarpanlarını kullanarak pozitif bölen sayısının (2+1)(1+1)(1+1)=12(2+1)(1+1)(1+1)=12 olduğunu, toplam bölen sayısının ise 2424 olduğunu bulup formül kullanmak zaman kazandırır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic