Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

Şekildeki O merkezli çemberde, P, A ve O noktaları doğrusaldır. [PT] ışını, çembere T noktasında teğettir. ∣PA∣=∣AO∣|PA| = |AO| ve ∣PT∣=63|PT| = 6\sqrt{3} cm olduğuna göre, [PT] doğru parçası, [PA] doğru parçası ve TA yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm²'dir?

  1. 183−6π18\sqrt{3} - 6\piAnswer
  2. B
    183−3π18\sqrt{3} - 3\pi
  3. C
    363−6π36\sqrt{3} - 6\pi
  4. D
    123−4π12\sqrt{3} - 4\pi
  5. E
    183−9π18\sqrt{3} - 9\pi

Answer

Taralı alan 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi cm² olarak bulunur.
Taralı bölge, OTP dik üçgeninin alanından OTA daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. ∣PO∣=2∣OT∣|PO|=2|OT| ilişkisinden üçgenin 30-60-90 üçgeni olduğu ve merkez açının 60° olduğu görülür. Yarıçap 6 cm bulunduğunda, üçgen alanı 18318\sqrt{3}, daire dilimi alanı 6π6\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen uzunluk ilişkilerini belirle.
Çemberin yarıçapına rr diyelim. ∣AO∣=r|AO| = r olduğundan ve ∣PA∣=∣AO∣|PA| = |AO| verildiğinden, ∣PA∣=r|PA| = r ve ∣PO∣=2r|PO| = 2r olur.
Soruda verilen eşitlikten hipotenüs ve dik kenar arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
OTP dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula ve yarıçapı bul.
Teğet yarıçapa diktir (OT⊥PTOT \perp PT). r2+(63)2=(2r)2⇒r2+108=4r2⇒3r2=108⇒r=6r^2 + (6\sqrt{3})^2 = (2r)^2 \Rightarrow r^2 + 108 = 4r^2 \Rightarrow 3r^2 = 108 \Rightarrow r = 6 cm.
Bilinmeyen yarıçap değerini bulmak için.
3
Merkez açıyı (∠TOP\angle TOP) belirle.
OTP dik üçgeninde hipotenüs (2r=122r=12) dik kenarın (r=6r=6) iki katı olduğundan, bu bir 30-60-90 üçgenidir. O açısı 60∘60^\circ'dir.
Daire diliminin alanını hesaplayabilmek için merkez açıya ihtiyaç vardır.
4
Üçgenin ve daire diliminin alanlarını hesapla.
Alan(OTP) = 6⋅632=183\frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} cm². Alan(Dilim) = π⋅62⋅60360=6π\pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 6\pi cm².
Taralı alan, üçgen alanından daire dilimi alanının çıkarılmasıyla bulunur.
5
Taralı alanı bulmak için çıkarma işlemi yap.
Taralı Alan = 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Bir dış noktadan çizilen teğet ile yarıçapın oluşturduğu dik üçgen ve daire dilimi alanı hesabı.

Hints

1
Teğet noktası ile merkezi birleştiren doğru parçası (yarıçap), teğet doğrusuna diktir. Bu dik üçgeni kullanın.
2
Soruda verilen ∣PA∣=∣AO∣|PA|=|AO| eşitliği, hipotenüsün (∣PO∣|PO|) dik kenarın (∣OT∣|OT|) iki katı olduğunu gösterir. Bu hangi özel üçgendir?

Alternative Method

Trigonometri kullanarak: tan⁡(O)=PT/OT\tan(O) = PT/OT yerine sin⁡(P)=OT/PO=1/2\sin(P) = OT/PO = 1/2 yazarak ∠P=30∘\angle P = 30^\circ ve ∠O=60∘\angle O = 60^\circ olduğu doğrudan görülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic