Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜslü İfadeler
25x+25−x+25x+5−x=7 \frac{25^x + 25^{-x} + 2}{5^x + 5^{-x}} = 7


eşitliği veriliyor.
Buna göre,
5x−5−x 5^x - 5^{-x}
ifadesinin pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    252\sqrt{5}
  2. 353\sqrt{5}Answer
  3. C
    53\sqrt{53}
  4. D
    7
  5. E
    47\sqrt{47}

Answer

Doğru cevap \( 3\sqrt{5} \) değeridir.
Verilen kesirli ifadenin payı, paydanın tam karesidir. Bu sadeleştirme sonucunda \( 5^x + 5^{-x} = 7 \) bulunur. Bizden istenen \( 5^x - 5^{-x} \) ifadesine ulaşmak için iki tam kare arasındaki \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) bağıntısı kullanılır. Buradan \( A^2 = 7^2 - 4 = 45 \) elde edilir ve sonuç \( 3\sqrt{5} \) olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadenin pay kısmını düzenle.
25x+25−x+2=(5x)2+(5−x)2+2⋅5x⋅5−x=(5x+5−x)2 25^x + 25^{-x} + 2 = (5^x)^2 + (5^{-x})^2 + 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} = (5^x + 5^{-x})^2
Tam kare özdeşliği: \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \). Burada \( a=5^x, b=5^{-x} \) ve \( ab=1 \) olduğu görülmelidir.
2
Bulunan tam kare ifadeyi denklemde yerine yaz ve \( 5^x + 5^{-x} \) toplamını bul.
(5x+5−x)25x+5−x=7  ⟹  5x+5−x=7 \frac{(5^x + 5^{-x})^2}{5^x + 5^{-x}} = 7 \implies 5^x + 5^{-x} = 7
Paydaki ifade paydanın karesi olduğu için sadeleştirme işlemi yapılır.
3
Toplam değerinden fark değerine geçiş yap.
(5x−5−x)2=(5x+5−x)2−4 (5^x - 5^{-x})^2 = (5^x + 5^{-x})^2 - 4
formülünü kullan:
A2=72−4=49−4=45 A^2 = 7^2 - 4 = 49 - 4 = 45
Legendre özdeşliği veya tam kare açılımları arasındaki ilişki: \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \).
4
Sonucun karekökünü al.
A=45=9⋅5=35 A = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}
Soruda ifadenin pozitif değeri istendiği için pozitif kök alınır.

Key Concept

Tam Kare Özdeşlikleri ve Üslü İfadelerde Değişken Dönüşümü

Hints

1
Paydaki \( 25^x + 25^{-x} + 2 \) ifadesini, \( (5^x + 5^{-x}) \) terimine benzetmeye çalışın. Bu ifade bir tam kare açılımı olabilir mi?
2
Paydaki ifade aslında \( (5^x + 5^{-x})^2 \)'dir. Bunu kullanarak önce \( 5^x + 5^{-x} \) değerini bulun.
3
\( (a+b)^2 \) değerini biliyorsanız, \( (a-b)^2 \) değerini bulmak için \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) özdeşliğini kullanın. Burada \( a=5^x \) ve \( b=5^{-x} \) olduğu için \( ab=1 \)'dir.

Practice More

Benzer yapıdaki küp açılımı sorularını (\( a^3 - b^3 \)) inceleyin.

Alternative Method

Değişken değiştirme yöntemi kullanılabilir: \( u = 5^x \) diyerek denklem \( u \) cinsinden yazılıp çözülebilir, ancak bu yol daha uzun ve karmaşıktır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic