Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

AA ve BB kümeleri tam sayılar kümesi üzerinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∣15≤x≤150, x=3k, k∈Z}A = \{x \mid 15 \le x \le 150, \, x = 3k, \, k \in \mathbb{Z}\}
B={x∣20<x<180, x=4m, m∈Z}B = \{x \mid 20 < x < 180, \, x = 4m, \, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, AA ve BB kümelerinin birleşimi olan s(A∪B)s(A \cup B) değeri kaçtır?

  1. A
    63
  2. 74Answer
  3. C
    75
  4. D
    79
  5. E
    85

Answer

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 74'tür.
Doğru cevap, kümelerin birleşim formülü olan s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) bağıntısının doğru uygulanmasıyla bulunur. Öncelikle her kümenin eleman sayısı terim sayısı formülüyle [(Son-İlk)/Artış + 1] hesaplanmalıdır. A kümesi için 46, B kümesi için 39 eleman bulunur. Kesişim kümesi ise iki aralığın kesişimi olan (20, 150] aralığında 12'nin katlarıdır ve 11 elemanlıdır. Sonuç 46+39−11=7446 + 39 - 11 = 74 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin eleman sayısını (s(A)) hesapla.
46
A kümesi 15 ile 150 arasındaki (sınırlar dahil) 3'ün katlarıdır. Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1 formülünden; (150 - 15) / 3 + 1 = 135/3 + 1 = 45 + 1 = 46.
2
B kümesinin eleman sayısını (s(B)) hesapla.
39
B kümesi 20 ile 180 arasındaki (sınırlar hariç) 4'ün katlarıdır. İlk terim 24, son terim 176'dır. Terim Sayısı = (176 - 24) / 4 + 1 = 152/4 + 1 = 38 + 1 = 39.
3
Kesişim kümesinin (A ∩ B) aralığını ve bölenini belirle.
Aralık: (20, 150], Bölen: 12
Kesişim kümesi her iki aralığın ortak bölgesidir: max(15, 20) < x ≤ min(150, 180) yani 20 < x ≤ 150. Elemanlar hem 3'ün hem 4'ün katı olmalı, yani EKOK(3,4) = 12'nin katı olmalıdır.
4
Kesişim kümesinin eleman sayısını (s(A ∩ B)) hesapla.
11
Aralıktaki ilk terim 24, son terim 144'tür. Terim Sayısı = (144 - 24) / 12 + 1 = 120/12 + 1 = 10 + 1 = 11.
5
Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).
74
46 + 39 - 11 = 74.

Key Concept

Birleşim Kümesi Formülü ve Ardışık Sayı Dizileri

Hints

1
Önce her iki kümenin eleman sayılarını ayrı ayrı hesaplayın. 'Terim Sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1' formülünü kullanın.
2
Kesişim kümesi (A ∩ B), hem 3'ün hem de 4'ün katı olan sayıları içerir. Yani 12'nin katlarına bakmalısınız. Ayrıca sayı aralığı her iki kümenin de ortak olduğu bölge olmalıdır.
3
Kesişim aralığı 20 < x ≤ 150 olacaktır. Bu aralıktaki 12'nin katlarını bulup, birleşim formülü olan s(A) + s(B) - s(A ∩ B) işlemini uygulayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, 'veya' bağlacı yerine 've' bağlacı kullanarak koşullu olasılık bağlamında çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Venn şeması çizerek sadece A'da olan (A\B), sadece B'de olan (B\A) ve her ikisinde olan (A ∩ B) eleman sayılarını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz: s(A\B)=35, s(B\A)=28, s(A∩B)=11. Toplam = 74.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

More questions from this topic