Examkin

Question

Difficulty: Very hardKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi üzerinde AA kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣18∣x∣+1∈Z ve x<5}A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{18}{|x| + 1} \in \mathbb{Z} \text{ ve } x < 5 \right\}

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    9
  5. E
    11

Answer

A kümesinin eleman sayısı 8'dir.
Verilen küme tanımına göre, ∣x∣+1|x|+1 sayısı 18'in bölenleri olmalıdır. Bu durumda ∣x∣|x| değerleri 0, 1, 2, 5, 8 ve 17 olabilir. Buradan elde edilen xx tam sayıları {0,±1,±2,±5,±8,±17}\{0, \pm1, \pm2, \pm5, \pm8, \pm17\} kümesini oluşturur. Ancak soruda verilen x<5x < 5 koşulu nedeniyle 5, 8 ve 17 değerleri elenir. Geriye kalan {0,1,−1,2,−2,−5,−8,−17}\{0, 1, -1, 2, -2, -5, -8, -17\} değerleri kümeyi oluşturur ve toplam 8 elemanlıdır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesindeki ilk koşulu analiz et.
∣x∣+1|x| + 1 ifadesi 18 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden biri olmalıdır.
Kesrin sonucunun tam sayı (Z\mathbb{Z}) olması için payda, payı tam bölmelidir.
2
18 sayısının pozitif bölenlerini listele.
Bölenler: {1,2,3,6,9,18}\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}
Olası tüm ∣x∣+1|x|+1 değerlerini belirlemek için.
3
∣x∣|x| değerlerini bulmak için her bölenden 1 çıkar.
∣x∣∈{0,1,2,5,8,17}|x| \in \{0, 1, 2, 5, 8, 17\}
∣x∣+1=k  ⟹  ∣x∣=k−1|x| + 1 = k \implies |x| = k - 1 denklemini çözmek için.
4
Mutlak değerden xx değerlerine geçiş yap.
x∈{0,1,−1,2,−2,5,−5,8,−8,17,−17}x \in \{0, 1, -1, 2, -2, 5, -5, 8, -8, 17, -17\}
∣x∣=a|x| = a ise x=ax = a veya x=−ax = -a olur (0 hariç).
5
İkinci koşul olan x<5x < 5 kısıtlamasını uygula.
Elenenler: 5,8,175, 8, 17. Kalanlar: {0,1,−1,2,−2,−5,−8,−17}\{0, 1, -1, 2, -2, -5, -8, -17\}
Küme tanımındaki 've' bağlacı her iki şartın da sağlanmasını gerektirir.
6
Kalan elemanları say.
Toplam 8 eleman vardır.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Ortak Özellik Yöntemi ve Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Hints

1
Kesrin tam sayı olması için paydanın (∣x∣+1|x|+1) payı (18) tam bölmesi gerekir.
2
18'in bölenlerini düşünerek olası ∣x∣|x| değerlerini bulun, ardından xx tam sayılarını listeleyin.
3
∣x∣=17|x|=17 olduğunda xx hem 17 hem de -17 olabilir. x<5x < 5 şartını sağlayanları seçmeyi unutmayın.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic