Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Kavramı ve Gösterimi

Gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) üzerinde tanımlı AA kümesi ve tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı BB kümesi aşağıda verilmiştir:

A={x∈R∣x2<25} A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 25 \}
B={x∈Z∣3x+9≥0} B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 3x + 9 \ge 0 \}

Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?

  1. A
    64
  2. B
    128
  3. 256Answer
  4. D
    512
  5. E
    1024

Answer

A∩BA \cap B kümesi 8 elemanlı olduğundan, alt küme sayısı 256'dır.
Doğru cevap, AA kümesinin (−5,5)(-5, 5) aralığı ve BB kümesinin x≥−3x \ge -3 şartını sağlayan tam sayıların kesişimi olan {−3,−2,−1,0,1,2,3,4}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} kümesinin 8 elemanlı olmasından dolayı 28=2562^8 = 256 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin aralığını belirle.
x2<25  ⟹  −5<x<5x^2 < 25 \implies -5 < x < 5. AA kümesi (−5,5)(-5, 5) açık aralığındaki tüm gerçel sayılardır.
Karesi 25'ten küçük olan sayılar -5 ile 5 arasındadır.
2
BB kümesinin elemanlarını belirle.
3x+9≥0  ⟹  3x≥−9  ⟹  x≥−33x + 9 \ge 0 \implies 3x \ge -9 \implies x \ge -3. BB kümesi {−3,−2,−1,0,1,2,… }\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} şeklindeki tam sayılardır.
Eşitsizlik çözülerek tam sayı şartı uygulanır.
3
A∩BA \cap B kümesinin elemanlarını bul.
AA aralığı (−5,5)(-5, 5) içindeki, BB koşulunu (x≥−3x \ge -3) sağlayan tam sayılar: {−3,−2,−1,0,1,2,3,4}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}.
Kesişim, her iki kümenin ortak elemanlarını içerir. 5 sayısı AA kümesine dahil değildir (5<55 < 5 yanlıştır).
4
Alt küme sayısını hesapla.
Eleman sayısı s(A∩B)=8s(A \cap B) = 8. Alt küme sayısı 28=2562^8 = 256.
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.

Key Concept

Kümelerde kesişim işlemi ve alt küme sayısı hesabı için ortak özellik yöntemiyle verilen kümelerin liste yöntemine çevrilmesi gerekir.

Hints

1
AA kümesi gerçel sayılardan oluştuğu için bir aralık belirtir. BB kümesi ise tam sayılardır. Kesişimleri tam sayılar olacaktır.
2
x2<25x^2 < 25 eşitsizliğinin çözüm aralığı −5<x<5-5 < x < 5 şeklindedir. 3x+9≥03x + 9 \ge 0 eşitsizliğinde xx yalnız bırakılmalıdır.
3
Kesişim kümesi {−3,−2,…,4}\{-3, -2, \dots, 4\} elemanlarından oluşur. 5 dahil değildir çünkü 52<255^2 < 25 yanlıştır. Eleman sayısını sayıp 2n2^n formülünü kullanın.

Practice More

Benzer mantıkla oluşturulan, ancak mutlak değerli eşitsizlikler içeren küme soruları çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizilerek AA kümesi için -5 ile 5 arası taranır, BB kümesi için -3 ve sağındaki tam sayılar işaretlenir. Her iki koşulu sağlayan noktalar sayılarak çözüm bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic