Bir ABC üçgeninde D \in [AB] ve E \in [AC] noktaları işaretleniyor. [DE] // [BC] olmak üze… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretleniyor. $[DE] // [BC]$ olmak üzere, $[BE]$ ve $[CD]$ doğru parçaları $F$ noktasında kesişmektedir. $Alan(FDE) = 4 \text{ cm}^2$ ve $Alan(FBC) = 9 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $Alan(ADE)$ kaç $\text{cm}^2$ dir?

A
6
B
13
20Answer
D
40
E
50

Answer

Verilen alanlar yardımıyla önce kelebek benzerliğinden temel benzerlik oranı

2/3

olarak bulunur. Ardından yamuk bölgesinin toplam alanı hesaplanır (

25 \text{ cm}^2

). Temel benzerlik teoremi ile alanların oranı

4/9

olarak belirlenir ve kurulan denklem sonucunda üstteki üçgenin alanı 20 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

\triangle FDE \sim \triangle FBC

benzerliğini kurun.

\frac{DE}{BC} = \sqrt{\frac{Alan(FDE)}{Alan(FBC)}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}

Paralellikten dolayı bu iki üçgen benzerdir ve alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

DBCE

yamuğunun toplam alanını hesaplayın.

Alan(FDB) = Alan(FEC) = \sqrt{4 \times 9} = 6 \text{ cm}^2

. Toplam

Alan(DBCE) = 4 + 9 + 6 + 6 = 25 \text{ cm}^2

Bir yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları birbirine ve tabanlardaki üçgenlerin alanlarının geometrik ortalamasına eşittir.

\triangle ADE \sim \triangle ABC

benzerliğini ve alan ilişkisini kurun.

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = (\frac{DE}{BC})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

DE // BC

olduğu için temel benzerlik teoremi uyarınca bu üçgenler benzerdir.

Alan(ADE) = S

diyerek denklemi çözün.

\frac{S}{S + 25} = \frac{4}{9} \Rightarrow 9S = 4S + 100 \Rightarrow 5S = 100 \Rightarrow S = 20

Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(DBCE)

olduğu için toplam alan yerine

S+25

yazılır.

Key Concept

Üçgende benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişki (

k^2

) ve yamukta alan özellikleri.

Hints

Paralellikten dolayı

\triangle FDE

ile

\triangle FBC

arasındaki kelebek benzerliğine odaklanın.

Kelebekteki alanlar oranı

4/9

ise,

DE/BC

benzerlik oranını bulun ve bu oranı büyük üçgendeki temel benzerliğe taşıyın.

Yamuk bölgesinin (

DBCE

) toplam alanını bulup,

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ADE)+Alan(DBCE)} = (\frac{DE}{BC})^2

formülünü uygulayın.

Practice More

Alan oranı verildiğinde benzerlik oranına geçiş yapmak için karekök almayı unutmayın.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Solution Supporting Visual

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Topics

More questions from this topic