Layer 1

Question 1Question →

Bir kamu binasının projesinde, ön cephede yer alan $ABC$ üçgeni şeklindeki dekoratif cam yüzey, tabana ( $BC$ kenarına) paralel çekilen bir çelik kiriş ( $DE$ ) ile iki bölgeye ayrılmıştır. $ADE$ üçgeni biçimindeki üst kısım şeffaf cam, $BCED$ dörtgeni biçimindeki alt kısım ise renkli cam ile kaplanacaktır. Projede, renkli cam ile kaplanacak alanın, şeffaf cam ile kaplanacak alanın 8 katı olması planlanmıştır. $ADE$ üçgeninin yüksekliği 2 metre olduğuna göre, tüm cephenin ( $ABC$ üçgeninin) yüksekliği kaç metredir?

4

6

9

16

18

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Tüm cephenin yüksekliği 6 metredir.

Doğru cevap, benzerlik ve alan ilişkisi kullanılarak bulunur.

DE // BC

olduğu için

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Alanlar oranı

1/9

olarak bulunduğunda, benzerlik oranı bu değerin karekökü olan

1/3

'tür. Küçük üçgenin yüksekliği 2 m ise, büyük üçgenin yüksekliği bunun 3 katı, yani 6 m olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Alanlar arasındaki kat ilişkisini belirle.

Şeffaf Alan (

A(ADE)

) =

S

ise, Renkli Alan (

A(BCED)

) =

8S

olur.

Soruda verilen '8 katı' ilişkisi matematiksel olarak ifade edilir.

2

Toplam alanı ve alanlar oranını hesapla.

Toplam Alan (

A(ABC)

) =

S + 8S = 9S

. Alanlar Oranı:

\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{S}{9S} = \frac{1}{9}

.

Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranı kullanılır.

3

Alan oranından benzerlik oranına geçiş yap.

Benzerlik Oranı (

k

) =

\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2 = \text{Alan Oranı}

).

4

Yükseklikler arasındaki ilişkiyi kur ve sonucu bul.

\frac{h_{küçük}}{h_{büyük}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{h_{büyük}} = \frac{1}{3} \Rightarrow h_{büyük} = 6

metre.

Benzerlik oranı, karşılıklı yüksekliklerin oranına da eşittir.

Key Concept

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

\frac{A_1}{A_2} = k^2

).

Hints

1

Üçgenlerde tabana paralel bir doğru çizildiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir.

2

Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}

).

3

Toplam alan

9S

, küçük alan

S

'dir. Alanlar oranı

1/9

ise benzerlik oranı

1/3

olur.

Practice More

Benzerlik oranının hacim oranına etkisi (küpü) üzerine bir soru çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Yükseklik

h

ile alan orantılıdır (

h^2

).

h_{küçük}^2

orantılıdır

S

,

h_{büyük}^2

orantılıdır

9S

. Buradan

h_{büyük} = 3 \times h_{küçük}

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

Bir şehir parkında tasarlanan yürüyüş yollarında $[AB] \parallel [DE]$ olduğu bilinmektedir. $A, C, D$ noktaları ile $B, C, E$ noktaları doğrusal olacak şekilde bu yollar $C$ noktasında kesişen iki ara yolla birleşmektedir. $|AB| = 8$ metre, $|DE| = 12$ metre ve $B$ ile $E$ noktaları arasındaki toplam mesafe ( $|BE|$ ) 25 metredir. Buna göre, $C$ ile $E$ noktaları arasındaki mesafe ( $|CE|$ ) kaç metredir?

10

12

15

18

20

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

C ve E noktaları arasındaki mesafe 15 metredir.

Verilen

[AB] \parallel [DE]

paralelliği sayesinde

\triangle ABC

ile

\triangle EDC

üçgenleri arasında kelebek benzerliği oluşur. Bu benzerliğe göre kenarlar arasındaki oran

|AB|/|DE| = 8/12 = 2/3

şeklindedir.

|BC|/|CE|

oranı da buna eşit olmalıdır.

|BE| = 25

birimlik toplam uzunluk

2:3

oranında paylaştırıldığında, büyük olan parça (

|CE|

) 15 metre olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik ilişkisini belirle.

\triangle ABC \sim \triangle EDC

[AB] \parallel [DE]

olduğu için iç ters açılar eşittir (

A

açısı

D

açısına,

B

açısı

E

açısına eşittir). Bu durum A.A. (Açı-Açı) benzerlik kuralını sağlar.

2

Benzerlik oranını kur.

k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine oranlıdır.

3

İlgili kenarlar arasında oran kur.

\frac{|BC|}{|CE|} = \frac{2}{3}

Benzer üçgenlerde aynı açının karşısındaki kenarlar aynı benzerlik oranına sahiptir.

4

Toplam uzunluğu kullanarak bilinmeyeni bul.

|BC| = 2k

ve

|CE| = 3k

ise

2k + 3k = 25 \implies 5k = 25 \implies k = 5

B, C, E

noktaları doğrusal olduğundan

|BC| + |CE| = |BE|

eşitliği geçerlidir.

5

|CE|

uzunluğunu hesapla.

|CE| = 3 \times 5 = 15

metre

Orantı sabitini hedef kenar çarpanı ile çarparak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kelebek (Kum Saati) Benzerliği

Hints

1

Paralel doğrular arasında oluşan 'Z' kuralını hatırlayarak hangi açıların birbirine eşit olduğunu bulun.

2

Üçgenler arasındaki benzerlik oranını

8/12

sadeleştirerek

2/3

olarak belirleyin.

3

|BC| = 2x

ve

|CE| = 3x

diyerek toplamı olan

5x = 25

denklemini çözün.

Practice More

Benzer bir soruda benzerlik oranının karesini alarak üçgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 3Question →

ABC bir üçgen, G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. G noktasından geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan doğru, $[AB]$ kenarını D, $[AC]$ kenarını E noktasında kesmektedir.

Bu kesim sonucunda oluşan DBCE dörtgeninin alanı $40 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, ADE üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

16

24

32

72

80

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

ADE üçgeninin alanı 32 cm² dir.

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler, bu da tepe noktasından tabana olan uzaklıklar oranının (benzerlik oranı) 2/3 olduğunu gösterir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan

(2/3)^2 = 4/9

olur. Yani küçük üçgenin alanı

4S

ise büyük üçgenin alanı

9S

, aradaki dörtgenin alanı ise

9S - 4S = 5S

olur.

5S = 40

verildiğinden

S=8

bulunur. İstenen alan

4S = 32

dir.

Step-by-Step Solution

1

Ağırlık merkezi özelliğini hatırla

G ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler. Yani

|AG| = 2k

ise

|GM| = k

ve toplam kenarortay

|AM| = 3k

olur.

Üçgenin ağırlık merkezinin temel özelliği, kenarortay üzerinde 2:1 oranını sağlamasıdır.

2

Benzerlik oranını belirle

DE \parallel BC

olduğundan

\triangle ADE \sim \triangle ABC

dir. Benzerlik oranı

k = \frac{|AG|}{|AM|} = \frac{2}{3}

tür.

Temel orantı teoremine göre paralel doğrularla oluşan üçgenler benzerdir.

3

Alanlar oranını hesapla

Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir:

\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir.

4

Alanları değişken cinsinden ifade et ve denklemi çöz

A(ADE) = 4S

dersek,

A(ABC) = 9S

olur. Dörtgenin alanı farka eşittir:

A(DBCE) = 9S - 4S = 5S

. Verilen

5S = 40

ise

S = 8

bulunur.

Büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanı çıkarılarak dörtgenin alanı bulunur.

5

İstenen alanı bul

Bizden

A(ADE)

istenmiştir.

A(ADE) = 4S = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2

.

Bulunan birim alan (S) değeri yerine konularak sonuç elde edilir.

Key Concept

Üçgende benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

dir.

Hints

1

Üçgenin ağırlık merkezi (G), köşeye olan uzaklığı ile kenara olan uzaklığı arasında sabit bir oran (2:1) kurar.

2

Paralellik varsa benzerlik vardır. Benzerlik oranı

|AG| / |AM|

şeklindedir.

3

Benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

dir. Oranınız 2/3 ise, alanlar oranı 4/9 olmalıdır.

Practice More

Ağırlık merkezi yerine kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan alan sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Yükseklikler oranı üzerinden de gidilebilir: Ağırlık merkezinden geçen paralel, yüksekliği de 2:1 oranında böler (

h_1 = 2h, h_2 = h

). Üstteki üçgenin tabanı

2x

, alttaki yamuğun alt tabanı

3x

olur. Alan formülleriyle oran yine bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

Bir fizik laboratuvarında gerçekleştirilen 'Karanlık Kutu' (Pinhole Camera) deneyinde, ışık doğrusal yayıldığı için üçgende benzerlik prensibinden faydalanılmaktadır.

Boyu $1,2$ metre olan dikey bir çubuk, iğne deliğinin bulunduğu noktadan $4$ metre uzağa yerleştirildiğinde, kutunun arka yüzeyindeki ekran üzerinde çubuğun ters bir görüntüsü oluşmakta ve görüntü boyu $15$ cm olarak ölçülmektedir.

Buna göre, çubuk iğne deliğine doğru $1$ metre yaklaştırılırsa, ekrandaki görüntünün boyu kaç santimetre artar?

3

4

5

10

20

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Ekrandaki görüntünün boyu 5 cm artar.

Işık doğrusal yayıldığı için cisim ve görüntüsü, iğne deliği noktasında kesişen iki benzer üçgen oluşturur (Kelebek benzerliği). İlk durumda

\frac{120}{15} = \frac{400}{kutu\_derinligi}

orantısından kutu derinliği 50 cm bulunur. İkinci durumda cisim 100 cm yaklaştığı için mesafe 300 cm olur. Yeni orantı

\frac{120}{h_{yeni}} = \frac{300}{50}

şeklinde kurulur ve yeni görüntü 20 cm bulunur. Artış miktarı

20 - 15 = 5

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen birimleri uyumlu hale getir (metreleri santimetreye çevir).

Cisim boyu

h_c = 120

cm, İlk uzaklık

d_1 = 400

cm, İlk görüntü boyu

h_{g1} = 15

cm.

Benzerlik oranlarında birimlerin aynı olması işlem hatasını önler.

2

Karanlık kutunun derinliğini (

x

) bulmak için temel benzerlik oranını kur (Kelebek/Kum saati benzerliği).

\frac{h_c}{h_{g1}} = \frac{d_1}{x} \Rightarrow \frac{120}{15} = \frac{400}{x} \Rightarrow 8 = \frac{400}{x} \Rightarrow x = 50

cm.

Cisim ile görüntü arasındaki benzerlik oranı, cismin deliğe uzaklığı ile görüntünün deliğe uzaklığı (kutu derinliği) oranına eşittir.

3

Cisim 1 metre yaklaştırıldığında yeni uzaklığı hesapla ve yeni benzerlik denklemini kur.

Yeni uzaklık

d_2 = 400 - 100 = 300

cm. Denklem:

\frac{120}{h_{g2}} = \frac{300}{50}

.

Kutu derinliği (

x=50

cm) sabittir, değişen sadece cismin mesafesidir.

4

Yeni görüntü boyunu (

h_{g2}

) hesapla.

\frac{120}{h_{g2}} = 6 \Rightarrow h_{g2} = \frac{120}{6} = 20

cm.

Orantı çözülerek yeni uzunluk bulunur.

5

İlk ve son görüntü boyları arasındaki farkı bul.

Artış =

20 - 15 = 5

cm.

Soru, yeni boyu değil, boydaki artış miktarını sormaktadır.

Key Concept

Temel Benzerlik ve Kelebek (Kum Saati) Teoremi

Hints

1

Sorudaki düzeneği, tepeleri iğne deliğinde birleşen iki üçgen (kelebek benzerliği) olarak çizin. Kutunun derinliği (iğne deliği ile ekran arası mesafe) her iki durumda da sabittir.

2

İlk durumu kullanarak kutunun derinliğini hesaplayın:

\frac{\text{Cisim Boyu}}{\text{Görüntü Boyu}} = \frac{\text{Cisim Uzaklığı}}{\text{Kutu Derinliği}}

.

3

Kutu derinliğini 50 cm bulmalısınız. İkinci durumda cisim uzaklığı 300 cm olduğunda, aynı formülü kullanarak yeni görüntü boyunu bulun ve farkı alın.

Practice More

Benzerlik oranının alan üzerindeki etkisini inceleyen sorular çözülebilir (örn. görüntünün alanı ne kadar artar?).

Alternative Method

Oran-orantı mantığıyla: Uzaklık 400 cm iken oran 120/15 = 8'dir. Yani cisim, görüntünün 8 katıdır. İkinci durumda uzaklık 300 cm ve kutu derinliği değişmediği için (oran derinliğe bağlıdır), yeni oran

300/50 = 6

olacaktır.

120 / h_{yeni} = 6

ise

h_{yeni} = 20

olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 5Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretleniyor. $[DE] // [BC]$ olmak üzere, $[BE]$ ve $[CD]$ doğru parçaları $F$ noktasında kesişmektedir. $Alan(FDE) = 4 \text{ cm}^2$ ve $Alan(FBC) = 9 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $Alan(ADE)$ kaç $\text{cm}^2$ dir?

6

13

20

40

50

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

20

Verilen alanlar yardımıyla önce kelebek benzerliğinden temel benzerlik oranı

2/3

olarak bulunur. Ardından yamuk bölgesinin toplam alanı hesaplanır (

25 \text{ cm}^2

). Temel benzerlik teoremi ile alanların oranı

4/9

olarak belirlenir ve kurulan denklem sonucunda üstteki üçgenin alanı 20 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

\triangle FDE \sim \triangle FBC

benzerliğini kurun.

\frac{DE}{BC} = \sqrt{\frac{Alan(FDE)}{Alan(FBC)}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}

Paralellikten dolayı bu iki üçgen benzerdir ve alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

2

DBCE

yamuğunun toplam alanını hesaplayın.

Alan(FDB) = Alan(FEC) = \sqrt{4 \times 9} = 6 \text{ cm}^2

. Toplam

Alan(DBCE) = 4 + 9 + 6 + 6 = 25 \text{ cm}^2

.

Bir yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları birbirine ve tabanlardaki üçgenlerin alanlarının geometrik ortalamasına eşittir.

3

\triangle ADE \sim \triangle ABC

benzerliğini ve alan ilişkisini kurun.

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = (\frac{DE}{BC})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

DE // BC

olduğu için temel benzerlik teoremi uyarınca bu üçgenler benzerdir.

4

Alan(ADE) = S

diyerek denklemi çözün.

\frac{S}{S + 25} = \frac{4}{9} \Rightarrow 9S = 4S + 100 \Rightarrow 5S = 100 \Rightarrow S = 20

Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(DBCE)

olduğu için toplam alan yerine

S+25

yazılır.

Key Concept

Üçgende benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişki (

k^2

) ve yamukta alan özellikleri.

Hints

1

Paralellikten dolayı

\triangle FDE

ile

\triangle FBC

arasındaki kelebek benzerliğine odaklanın.

2

Kelebekteki alanlar oranı

4/9

ise,

DE/BC

benzerlik oranını bulun ve bu oranı büyük üçgendeki temel benzerliğe taşıyın.

3

Yamuk bölgesinin (

DBCE

) toplam alanını bulup,

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ADE)+Alan(DBCE)} = (\frac{DE}{BC})^2

formülünü uygulayın.

Practice More

Alan oranı verildiğinde benzerlik oranına geçiş yapmak için karekök almayı unutmayın.

Estimated Time:2m 30s

Question 6Question →

$ABC$ bir üçgen, $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. $ADE$ üçgeninin alanı $9 \text{ cm}^2$ ve $BCED$ dörtgeninin alanı $16 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $\frac{|AD|}{|DB|}$ oranı kaçtır?

\frac{3}{5}

\frac{9}{16}

\frac{3}{2}

\frac{2}{3}

\frac{9}{25}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{2}$

Answer

İstenen oran

\frac{3}{2}

'dir.

Doğru cevap, alanlar oranından (

\frac{9}{25}

) benzerlik oranına (

\frac{3}{5}

) geçilip, bu oranın kenar parçalarına (

|AD|=3k, |DB|=2k

) doğru dağıtılmasıyla bulunmuştur.

Step-by-Step Solution

1

Toplam alanı hesapla.

ABC

üçgeninin toplam alanı =

9 + 16 = 25 \text{ cm}^2

.

Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin (

ADE

) alanının büyük üçgenin (

ABC

) alanına oranlanması gerekir.

2

Alanlar oranından benzerlik oranını (

k

) bul.

\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{9}{25} = k^2 \Rightarrow k = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

Kenar uzunluklarını oranla ilişkilendir.

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{5}

olduğu için

|AD| = 3x

ve

|AB| = 5x

diyebiliriz.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.

4

İstenen

|AD|/|DB|

oranını hesapla.

|DB| = |AB| - |AD| = 5x - 3x = 2x

. Buradan

\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}

.

Soruda tüm kenarın değil, parçaların oranı sorulmaktadır.

Key Concept

Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}

).

Hints

1

Önce küçük üçgen (

ADE

) ile büyük üçgenin (

ABC

) alanlarını oranlayın.

2

Üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine (

k^2

) eşittir.

3

Benzerlik oranı

3/5

bulunur. Bu, kenarın 3 parçasının yukarıda, tamamının 5 parça olduğu anlamına gelir.

Practice More

Benzerlik oranı verilen iki üçgenin alanları farkının sorulduğu bir soru çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $D \in [AC]$ ve $E \in [BC]$ noktaları işaretlenmiştir. Üçgen üzerinde $|AD| = 2|DC|$ ve $|BE| = |EC|$ eşitlikleri verilmiştir. $[AE]$ ve $[BD]$ doğru parçaları $F$ noktasında kesişmektedir. $|BF| = 12$ cm olduğuna göre, $|FD|$ kaç santimetredir?

4

6

8

9

10

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

FD uzunluğu 8 cm'dir.

Soruyu çözmek için E noktasından [BD]'ye paralel çizmek en pratik yöntemdir (Menelaus teoremi müfredat dışı kabul edilse bile benzerlikle ispatlanabilir). Bu paralel çizildiğinde BCD üçgeninde orta taban oluşur ve AC üzerindeki oranlar parçalanır. Oluşan yeni üçgenlerdeki (AKE ve AFD) temel benzerlik oranı 4/5 bulunur. Bu oranlar yerine konulduğunda istenen uzunluk 8 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

E noktasından [BD] doğrusuna paralel bir yardımcı doğru çizin ve bu doğrunun [AC] kenarını kestiği noktaya K deyin.

[EK] // [BD] olur.

Üçgende benzerlik (Tales) teoremini uygulayabilmek için paralel bir doğruya ihtiyaç vardır.

2

BCD üçgeninde temel orantı teoremini (Tales) uygulayın.

E noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan (|BE|=|EC|), K noktası da [DC]'nin orta noktası olur. Yani |DK| = |KC| = k diyelim.

Bir üçgenin bir kenarının orta noktasından diğer kenara çizilen paralel doğru, üçüncü kenarı da ortalar (Orta Taban).

3

Verilen |AD| = 2|DC| oranını kullanarak AD uzunluğunu k cinsinden ifade edin.

|DC| = 2k olduğundan, |AD| = 2(2k) = 4k olur.

Soruda verilen oranları ortak birim cinsinden yazarak karşılaştırma yapmak için.

4

AKE üçgeninde [FD] // [EK] paralelliğini kullanarak benzerlik oranını hesaplayın.

Benzerlik oranı = |AD| / |AK| = 4k / (4k + k) = 4/5. Dolayısıyla |FD| / |EK| = 4/5 olur.

Temel benzerlik teoremine göre paralel doğrular kenarları aynı oranda böler.

5

BF ve FD arasındaki ilişkiyi kurarak sonuca ulaşın.

|EK|, BCD üçgeninde orta taban olduğundan |EK| = |BD|/2'dir. Buradan |BD| = 2|EK| olur. |FD| = (4/5)|EK| olduğunu bulmuştuk. |BF| = |BD| - |FD| = 2|EK| - 0.8|EK| = 1.2|EK|. Verilen |BF|=12 ise, 1.2|EK|=12 => |EK|=10. O halde |FD| = 0.8 * 10 = 8 cm.

Parçalar arasındaki cebirsel ilişkiyi çözerek istenen uzunluğu bulmak için.

Key Concept

Üçgende Benzerlik ve Yardımcı Doğru Çizimi (Menelaus Alternatifi)

Hints

1

Üçgenin içinde kesişen doğrular gördüğünüzde ve doğrudan bir oran yoksa, paralel bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.

2

E noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. E noktasından [BD] doğrusuna paralel çizerseniz, [AC] kenarını nasıl böler?

3

Çizdiğiniz paralel ile oluşan orta tabanı görün. Daha sonra yukarıdaki AKE üçgeninde oluşan benzerliği kullanarak |AD| ve |AK| oranını yazın.

Practice More

Benzer oranların verildiği ancak kesişim noktasının dışarıda olduğu 'Kelebek Benzerliği' sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Menelaus teoremi ile: ADC üçgeni ve E-F-B keseni için; (CB/CE) * (EF/FA) * (AD/DB)... Bu soru için Menelaus teoremi A-E-C üçgeni ve B-F-D keseni için uygulanırsa: (|CB|/|CE|) * (|EK|/|KA|) gibi karmaşık olabilir. En kolayı dışarıdan paralel tamamlamaktır.

Estimated Time:4m 0s

Question 8Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde; $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ ve $F \in [BC]$ noktaları işaretlenmiştir. $DE // BC$ ve $EF // AB$ olmak üzere oluşturulan bölgelerin alanları incelenmiştir.

$ADE$ üçgeninin alanı $4 \text{ cm}^2$ ve $EFC$ üçgeninin alanı $9 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin toplam alanı kaç $\text{ cm}^2$ dir?

13

19

25

36

49

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

ABC üçgeninin alanı 25 cm² dir.

Verilen şekilde

DE // BC

ve

EF // AB

olduğundan

BDEF

bir paralelkenardır.

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir, aynı şekilde

EFC

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

\sqrt{\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}} + \sqrt{\frac{Alan(EFC)}{Alan(ABC)}} = 1

eşitliği bu özel formül için geçerlidir.

\frac{2}{\sqrt{S}} + \frac{3}{\sqrt{S}} = 1

denkleminden

\sqrt{S} = 5

ve

S = 25

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Benzer üçgenleri belirle ve benzerlik oranlarını alanlar yardımıyla ifade et.

ADE ~ ABC ve EFC ~ ABC dir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir (k² = AlanOranı).

Paralellikten dolayı (DE//BC ve EF//AB) oluşan küçük üçgenler büyük üçgen ile benzerdir.

2

ADE ve EFC üçgenlerinin ABC üçgenine olan benzerlik oranlarını (k1 ve k2) hesapla.

k1 = √(Alan(ADE)/Alan(ABC)) = 2/√S ve k2 = √(Alan(EFC)/Alan(ABC)) = 3/√S.

Alan oranı, benzerlik oranının karesidir. Buradan kenar oranlarına geçilir.

3

Paralelkenar özelliğini kullanarak kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kur.

|BC| = |BF| + |FC|. |BF| = |DE| olduğu için (BDEF paralelkenar), |BC| = |DE| + |FC|.

Taban kenarı parçaların toplamına eşittir ve paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir.

4

Oranları toplayarak eşitliği çöz.

1 = k1 + k2 => 1 = 2/√S + 3/√S => 1 = 5/√S => √S = 5 => S = 25.

Kenar oranlarının toplamı bütünü (1) vermelidir.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

Hints

1

Paralelliklerden dolayı

ADE

ve

EFC

üçgenlerinin her ikisi de büyük

ABC

üçgenine benzerdir.

2

Benzerlik oranı (

k

), alanlar oranının kareköküne eşittir (

k = \sqrt{Alan_1/Alan_2}

).

BDEF

dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu unutmayın.

3

\sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} = \sqrt{Alan(ABC)}

pratik kuralını kullanabilirsiniz.

Practice More

Benzer şekil üzerinde alanlar yerine benzerlik oranı verilip alanların istendiği bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Pratik Yol: Bu tip (paralelkenar ile ayrılmış) sorularda toplam alanın karekökü, parçaların alanlarının karekökleri toplamına eşittir.

\sqrt{S} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5

, buradan

S=25

.

Estimated Time:2m 30s

Question 9Question →

$ABC$ bir üçgen ve $D \in [BC]$ noktasıdır.

$m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ABC})$
$|AC| = 12 \text{ cm}$
$|DC| = 8 \text{ cm}$
$|AD| = 10 \text{ cm}$

Verilenlere göre, $|AB| + |BD|$ toplamı kaç santimetredir?

18

20

22

24

25

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Doğru cevap 25'tir.

Soruda verilen açı eşitliği ve

\widehat{C}

açısının ortak olması nedeniyle

\triangle ADC

ile

\triangle BAC

benzerdir. Benzerlik oranı

8/12 = 2/3

olarak bulunur. Bu oran kullanılarak

|BC|=18

ve

|AB|=15

hesaplanır.

|BD|=10

bulunur ve toplam 25 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Açı eşitliklerini kullanarak benzer üçgenleri belirle.

Ortak açı

\widehat{C}

ve verilen eşitlik

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{B})

nedeniyle

\triangle ADC \sim \triangle BAC

.

İki üçgenin ikişer açısı eşitse (Açı-Açı Benzerliği), bu üçgenler benzerdir.

2

Benzerlik oranını kurarak

|BC|

uzunluğunu hesapla.

\frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|BC|} \Rightarrow \frac{8}{12} = \frac{12}{|BC|} \Rightarrow |BC| = 18 \text{ cm}

.

Benzer üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.

3

Benzerlik oranını kullanarak

|AB|

uzunluğunu hesapla.

\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DC|}{|AC|} \Rightarrow \frac{10}{|AB|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \Rightarrow |AB| = 15 \text{ cm}

.

Benzerlik oranı

k = 2/3

olarak kullanılarak üçüncü kenar bulunur.

4

|BD|

uzunluğunu bul ve istenen toplamı hesapla.

|BD| = |BC| - |DC| = 18 - 8 = 10 \text{ cm}

. Toplam:

|AB| + |BD| = 15 + 10 = 25 \text{ cm}

.

Parça uzunluğu bütünden çıkarılarak bulunur.

Key Concept

Açı-Açı Benzerlik Teoremi (Gizli Benzerlik)

Hints

1

Üçgenlerdeki açıları isimlendirin. C açısı hem küçük üçgende (ADC) hem de büyük üçgende (ABC) ortaktır.

2

İki üçgenin ikişer açısı eşitse (Ortak C açısı ve verilen eşit açılar), üçüncü açıları da eşittir ve bu üçgenler benzerdir:

\triangle ADC \sim \triangle BAC

.

3

Benzerlik oranını yazın:

\frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AB|}

. Bilinen değerleri (8, 12, 10) yerine koyarak

|AB|

ve

|BC|

'yi bulun.

Practice More

Benzer bir kurguda, kenar uzunlukları yerine alanların oranı verilirse benzerlik oranını nasıl bulacağınızı düşünün.

Estimated Time:2m 30s

Question 10Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde; $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ ve $F \in [BC]$ noktaları belirlenmiştir. $BDEF$ dörtgeni bir paralelkenardır.

$ADE$ üçgeninin alanı 8 cm² ve $EFC$ üçgeninin alanı 18 cm² olduğuna göre, $BDEF$ paralelkenarının alanı kaç cm² dir?

12

24

26

32

50

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

BDEF paralelkenarının alanı 24 cm² dir.

Verilen yapıda

ADE

ve

EFC

üçgenleri büyük

ABC

üçgenine benzerdir. Benzerlik oranları tabanlar üzerindeki paylarına göre belirlenir.

BDEF

paralelkenar olduğundan,

|DE| + |FC| = |BC|

eşitliği sağlanır. Bu durum,

\sqrt{S_{toplam}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}

bağıntısını doğurur.

\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

olduğundan, toplam alan 50 cm²'dir. Paralelkenarın alanı ise

50 - (8+18) = 24

cm² olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Paralelliklerden dolayı oluşan benzer üçgenleri belirle.

DE \parallel BC

olduğu için

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ve

EF \parallel AB

olduğu için

\triangle EFC \sim \triangle ABC

benzerlikleri vardır.

Paralel doğrular yöndeş açılar oluşturur, bu da Açı-Açı benzerliğini sağlar.

2

Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişkiyi kullan.

Benzerlik oranı (

k

), alanlar oranının kareköküne eşittir.

\frac{|DE|}{|BC|} = \sqrt{\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}}

ve

\frac{|FC|}{|BC|} = \sqrt{\frac{Alan(EFC)}{Alan(ABC)}}

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir (

k^2

).

3

Taban uzunlukları arasındaki ilişkiyi kur.

BDEF

bir paralelkenar olduğundan

|DE| = |BF|

'dir. Dolayısıyla

|BC| = |BF| + |FC| = |DE| + |FC|

olur.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.

4

Alan formülünü uygula ve toplam alanı bul.

\sqrt{Alan(ABC)} = \sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} \Rightarrow \sqrt{Alan(ABC)} = \sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

. Buradan

Alan(ABC) = (5\sqrt{2})^2 = 50

cm².

Bu özel geometrik yapıda büyük üçgenin alanının karekökü, küçük üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamına eşittir.

5

Paralelkenarın alanını hesapla.

Alan(BDEF) = Alan(ABC) - [Alan(ADE) + Alan(EFC)] = 50 - (8 + 18) = 50 - 26 = 24

cm².

Toplam alandan bilinen parçaların alanlarını çıkararak bilinmeyen bölgeyi buluruz.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

Hints

1

Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu ve bu paralelliğin üçgenlerde benzerlik oluşturduğunu hatırlayın.

2

ADE

üçgeni ve

EFC

üçgeni, büyük

ABC

üçgenine benzerdir. Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

\sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} = \sqrt{Alan(ABC)}

formülünü kullanarak önce tüm alanı bulun, sonra parçaları çıkarın.

Practice More

Benzer bir kurguda, alanlar yerine benzerlik oranı verilip alanların istendiği bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Pratik Yol: Bu tip sorularda paralelkenarın alanı, verilen üçgen alanlarının çarpımının karekökünün 2 katına eşittir:

Alan = 2 \cdot \sqrt{S_1 \cdot S_2}

. Burada

2 \cdot \sqrt{8 \cdot 18} = 2 \cdot \sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24

.

Estimated Time:2m 30s

Question 11Question →

Bir şehir planlama projesi kapsamında, $ABC$ üçgeni şeklindeki bir park arazisi, taban kenarı olan $BC$ yoluna paralel çizilen $DE$ ve $FG$ yürüyüş yolları ile üç farklı bölgeye ayrılmıştır. Arazinin $AB$ kenarı üzerindeki ölçümler şu şekildedir:

|AD| = 20 \text{ m}, \quad |DF| = 30 \text{ m}, \quad |FB| = 10 \text{ m}

Ortada kalan $DEGF$ dörtgeni şeklindeki bölgenin alanı $420 \text{ m}^2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, parkın en alt kısmında yer alan $FBCG$ bölgesinin alanı kaç metrekaredir?

140

180

200

220

240

Show answer & explanation

Answer: 220

Answer

FBCG bölgesinin alanı 220 metrekaredir.

Üçgenlerde benzerlik oranı

k

ise alanlar oranı

k^2

'dir. Tepe noktasından (A) uzaklıklar sırasıyla 20, 50 ve 60 metredir. Bunları sadeleştirirsek oranlar 2, 5 ve 6 olur. Alanlar bu sayıların kareleriyle orantılı olacaktır:

2^2=4

,

5^2=25

,

6^2=36

.

Buna göre en üstteki üçgenin alanı

4S

, ortadaki büyük üçgenin alanı

25S

, en büyük üçgenin alanı

36S

olur. Aradaki parçaların alanlarını bulmak için çıkarma yaparız:
- Ortadaki parça (DEGF):

25S - 4S = 21S

- En alttaki parça (FBCG):

36S - 25S = 11S

Soruda

21S = 420

m² olarak verilmiş, buradan

S = 20

m² bulunur. İstenen alan

11S = 11 \times 20 = 220

m²'dir.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik oranlarını belirle

Üçgenlerin tepe noktası A'ya göre benzerlik oranları:

ADE \sim AFG \sim ABC

. Oranlar kenar uzunlukları toplamına göre:

k_1 = \frac{20}{20+30} = \frac{2}{5}

ve

k_2 = \frac{20}{20+30+10} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

.

Paralel doğrular temel benzerlik teoremi (Thales) gereği açi-açı benzerliği oluşturur.

2

Alanlar oranını hesapla (k^2)

Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir.

A(ADE)/A(AFG) = (2/5)^2 = 4/25

.

A(ADE)/A(ABC) = (1/3)^2 = 1/9 = 4/36

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et

A(ADE) = 4S

olsun.

A(AFG) = 25S

olduğundan aradaki

DEGF

alanı

25S - 4S = 21S

olur.

A(ABC) = 36S

olduğundan en alttaki

FBCG

alanı

36S - 25S = 11S

olur.

Toplam alanlardan üstteki parçalar çıkarılarak şeritlerin (yamukların) alanları bulunur.

4

Verilen değeri kullanarak S'i bul ve istenen alanı hesapla

Verilen

DEGF

alanı

21S = 420 \implies S = 20

. İstenen

FBCG

alanı

11S = 11 \times 20 = 220

metrekaredir.

Bulunan birim alan değeri hedef bölgenin katsayısı ile çarpılır.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (k^2)

Hints

1

Üçgenlerde tabana paralel çizilen doğrular, tepe noktasına göre benzer üçgenler oluşturur. Benzerlik oranını bulmak için kenar uzunluklarını oranlayın.

2

Benzer iki üçgenin benzerlik oranı 'k' ise, alanları oranı 'k'nın karesidir (k²). Alanları

A(ADE)

,

A(AFG)

ve

A(ABC)

olarak düşünün.

3

Kenar oranları 2:5:6 şeklindedir. Alanlar bu sayıların karesiyle (4, 25, 36) orantılıdır. Parçaların alanlarını bulmak için bu kareleri birbirinden çıkararak farklarına bakın (25-4 ve 36-25).

Practice More

Benzerlik oranının hacim oranına etkisi (k^3) ile ilgili sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 12Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $AB$ kenarı üzerinde $D$ ve $E$ noktaları, $AC$ kenarı üzerinde ise $F$ ve $G$ noktaları işaretlenmiştir. $[DF] \parallel [EG] \parallel [BC]$ paralelliği ve $|AD| = |DE| = |EB|$ eşitliği verilmektedir. $DFGE$ dörtgeninin alanı $24 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $EBCG$ dörtgeninin alanı kaç $\text{ cm}^2$ 'dir?

30

32

36

40

48

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

40

Üçgende eşit aralıklarla çizilen paralel doğrular, alanları

S, 3S, 5S, 7S...

kuralına göre böler. Soruda verilen eşitliklere göre ortadaki bölge

3S

, alttaki bölge

5S

'tir.

3S = 24

olduğundan

S=8

bulunur. İstenen alan

5S = 5 \times 8 = 40

olur.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik oranlarını belirle

Kenarlar eşit parçalandığı için üçgenlerin benzerlik oranları sırasıyla 1/1, 1/2 ve 1/3 değil; tepe noktasına göre 1, 2, 3 birim uzaklıktadır. Temel benzerlik oranları

k_1 = \frac{1}{2}

ve

k_2 = \frac{1}{3}

şeklindedir.

Paralel doğrular eş aralıklarla çizildiğinde oluşan üçgenlerin benzerlik oranları ardışık tam sayılarla orantılıdır.

2

Alanlar oranını hesapla

Benzerlik oranının karesi alanlar oranına eşittir. Alanlar sırasıyla

1^2

,

2^2

,

3^2

yani

1A

,

4A

,

9A

ile orantılıdır.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

S_1/S_2 = k^2

).

3

Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et

En üstteki üçgen (

ADF

):

S

. Ortadaki dörtgen (

DFGE

):

4S - S = 3S

. En alttaki dörtgen (

EBCG

):

9S - 4S = 5S

.

Büyük üçgenin alanından bir önceki küçük üçgenin alanı çıkarılarak aradaki dörtgenin alanı bulunur.

4

Verilen bilgiyi kullanarak S değerini bul ve sonucu hesapla

Verilen

DFGE

alanı

3S = 24

ise

S = 8

bulunur. İstenen

EBCG

alanı

5S

olduğuna göre,

5 \times 8 = 40 \text{ cm}^2

dir.

Denklem çözümü.

Key Concept

Üçgende benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

'dir. Eşit aralıklı paralellerde alanlar

S, 3S, 5S, 7S...

şeklinde tek sayılarla orantılı artar.

Hints

1

Üçgenlerde benzerlik oranı

k

ise, alanlar oranı

k^2

'dir.

2

Kenarlar eşit parçalara bölündüğünde (

|AD|=|DE|=|EB|

), oluşan bölgelerin alanları

S, 3S, 5S...

şeklinde artar.

3

Ortadaki dörtgenin alanı

3S

değerine karşılık gelmektedir.

3S = 24

eşitliğini kullanınız.

Practice More

Benzerlik oranının

2/3

veya

3/4

gibi rasyonel sayı olduğu ve alan değişiminin sorulduğu sorular çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları verilmiştir. $[DE] \parallel [BC]$ olmak üzere, $|AD| = 2 \text{ cm}$ ve $|DB| = 6 \text{ cm}$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, $ADE$ üçgeninin alanının $ABC$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

\frac{1}{16}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{1}{9}

\frac{3}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{16}$

Answer

ADE üçgeninin alanının ABC üçgeninin alanına oranı 1/16'dır.

Üçgenlerde tabana paralel bir doğru çizildiğinde oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir. Benzerlik oranı, kenar uzunluklarının oranına eşittir:

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2}{2+6} = \frac{1}{4}

. Benzer iki üçgenin alanları oranı ise benzerlik oranının karesine eşittir:

k^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}

.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik oranını (k) hesapla.

k = |AD| / |AB| = 2 / (2 + 6) = 2 / 8 = 1/4

Temel orantı teoremine (Thales) göre küçük üçgenin kenarı, büyük üçgenin tamamına oranlanır.

2

Alanlar oranını bulmak için benzerlik oranının karesini al.

Alan Oranı = k² = (1/4)² = 1/16

Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (k -> k²)

Hints

1

Önce küçük üçgenin (

ADE

) kenarının büyük üçgenin (

ABC

) kenarına oranını (benzerlik oranı) bulun.

2

Benzerlik oranı

k = \frac{|AD|}{|AD| + |DB|}

formülüyle hesaplanır.

3

Bulduğunuz benzerlik oranı

k

'nın karesini (

k^2

) alarak alanlar oranına ulaşın.

Practice More

Benzerlik oranı verilen iki üçgenin çevrelerinin oranı sorulsaydı ne yapardınız?

Estimated Time:45s

Question 14Question →

Düz bir zemin üzerine dik olarak yerleştirilmiş iki direk bulunmaktadır. Birinci direğin tepesinden ikinci direğin dibine ve ikinci direğin tepesinden birinci direğin dibine gergin ipler çekilmiştir. Bu iplerin kesişim noktasının zeminden yüksekliği 4,8 metredir. Direklerden birinin yüksekliği 8 metre olduğuna göre, diğer direğin yüksekliği kaç metredir?

10

12

16

18

24

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Diğer direğin yüksekliği 12 metredir.

Verilen geometrik yapıda, zemine dik direkler birbirine paraleldir. Temel benzerlik teoremi gereği, kesişim noktasının yüksekliği (

h

), direk boyları (

a

ve

b

) arasında

\frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

bağıntısı vardır. Verilen değerler (

h=4,8

ve

a=8

) yerine konulduğunda, diğer direğin boyu 12 metre olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Problemi geometrik olarak modelle

Zemin üzerinde birbirine paralel iki doğru parçası (direkler) ve bunları çapraz kesen iki doğru parçası (ipler) oluşur. Bu yapı 'kelebek' benzerliği ve temel benzerlik teoremi uygulamasıdır.

Paralel doğrular arasındaki çapraz bağlantılar, benzer üçgenler oluşturur.

2

Kesişim yüksekliği formülünü uygula

Paralel iki uzunluk

x

ve

y

ise ve kesişim yüksekliği

h

ise, formül:

\frac{1}{h} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

şeklindedir.

Temel orantı teoreminden (Thales) elde edilen harmonik ortalama ilişkisidir.

3

Verilenleri formüle yerleştir

\frac{1}{4,8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{y}

Bilinen yükseklikler (

h=4,8

ve

x=8

) yerine konur.

4

Bilinmeyen yüksekliği (

y

) çöz

\frac{1}{4,8} = \frac{10}{48} = \frac{5}{24}

. Denklem:

\frac{5}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{y} \implies \frac{2}{24} = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{12} = \frac{1}{y} \implies y = 12

.

Rasyonel sayı işlemleriyle bilinmeyen bulunur.

Key Concept

Paralel doğrular arasındaki çapraz kesişimlerde, kesişim noktasının yüksekliğinin tersi, paralel uzunlukların yüksekliklerinin tersleri toplamına eşittir.

Hints

1

Bu soruyu çözmek için 'Temel Benzerlik Teoremi'ni (Thales) kullanmalısınız. İplerin oluşturduğu üçgenlerdeki benzerlik oranlarına odaklanın.

2

Direkler birbirine paralel olduğu için, kesişim noktasının yüksekliğinin tersi, direk boylarının terslerinin toplamına eşittir (

\frac{1}{h} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

).

3

Formülde

h = 4,8

ve

x = 8

değerlerini yerine koyarak

y

değerini hesaplayın:

\frac{1}{4,8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{y}

.

Practice More

Benzer bir mantıkla, yamukta köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen doğru parçasının uzunluğunu soran soruları inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 15Question →

Bir reklam tabelası tasarımında, $ABC$ üçgeni şeklindeki bir yüzey üzerine $D$ ve $E$ noktalarından geçen bir destek çıtası yerleştirilmiştir. $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ olmak üzere; $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$ , $|AD| = 6 \text{ cm}$ , $|AE| = 4 \text{ cm}$ ve $|EC| = 8 \text{ cm}$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, $|DB|$ uzunluğu kaç cm'dir?

2

6

8

12

15

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Benzerlik oranına göre

|DB|

uzunluğu 2 cm olarak bulunur.

Verilen açı eşitlikleri doğrultusunda

\triangle ADE \sim \triangle ACB

benzerliği kurulur. Bu benzerlikte

AD

kenarı ile

AC

kenarı orantılıdır.

\frac{6}{12} = \frac{4}{|AB|}

denkleminden

|AB| = 8

cm bulunur.

|DB| = |AB| - |AD|

işlemiyle sonuç 2 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Ortak açıyı ve benzerlik kuralını belirleme

\\widehat{A}

açısı hem

\\triangle ADE

hem de

\\triangle ACB

için ortaktır.

İki üçgenin birer köşesi çakışıktır.

2

Açı-Açı (A.A.) benzerliğini kurma

m(\\widehat{ADE}) = m(\\widehat{ACB})

verildiğinden,

\\triangle ADE \\sim \\triangle ACB

benzerliği kurulur.

İkişer açısı eşit olan üçgenlerin üçüncü açıları da eşittir ve bu üçgenler benzerdir.

3

Benzerlik oranını yazma

\\frac{|AD|}{|AC|} = \\frac{|AE|}{|AB|}

Eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.

4

Sayısal değerleri yerine koyma ve

|AB|

'yi bulma

\\frac{6}{4+8} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow \\frac{6}{12} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow \\frac{1}{2} = \\frac{4}{|AB|} \\Rightarrow |AB| = 8 \\text{ cm}

|AC| = |AE| + |EC| = 4 + 8 = 12

cm olduğu için.

5

|DB|

uzunluğunu hesaplama

|DB| = |AB| - |AD| = 8 - 6 = 2 \\text{ cm}

İstenen parça, toplam kenar uzunluğundan verilen parçanın çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Açı-Açı (A.A.) Benzerliği ve Kenar Orantısı

Alternative Method

Alanlar oranından gidilebilir ancak kenar uzunlukları verildiği için doğrudan kenar orantısı kurmak en hızlı yöntemdir.

Estimated Time:1m 30s

Question 16Question →

Bir teknik çizimde $ABC$ üçgeni biçimindeki bir levha üzerinde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretlenmiştir. $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$ , $|AD| = 4 \text{ cm}$ , $|AE| = 5 \text{ cm}$ ve $|EC| = 3 \text{ cm}$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, $|DB|$ uzunluğu kaç cm'dir?

4

5

6

8

10

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Levha üzerindeki

|DB|

uzunluğu 6 cm'dir.

Verilen

ABC

ve

ADE

üçgenlerinde

A

açısı ortak olup

D

ve

C

açılarının ölçüleri eşit verildiğinden, bu üçgenler Açı-Açı kuralına göre benzerdir. Benzerlik oranı kurulduğunda

AD

kenarının

AC

kenarına oranı,

AE

kenarının

AB

kenarına oranına eşittir. Bu oranlardan yola çıkarak

4/8 = 5/(4+|DB|)

denklemi elde edilir ve buradan

|DB| = 6

cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenler arasındaki benzerliği tespit etme

\triangle ADE \sim \triangle ACB

\widehat{A}

açısı her iki üçgen için ortaktır ve soruda

m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})

olarak verilmiştir. Açı-Açı (A.A.) benzerlik kuralına göre bu iki üçgen benzerdir.

2

Benzerlik oranını yazma

\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|}

Benzer üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.

3

Verilen değerleri yerine koyma ve denklem kurma

\frac{4}{5+3} = \frac{5}{4+|DB|}

|AC| = |AE| + |EC| = 5 + 3 = 8 \text{ cm}

ve

|AB| = |AD| + |DB| = 4 + |DB|

'dir.

4

Denklemi çözme

|DB| = 6

\frac{4}{8} = \frac{5}{4+|DB|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{5}{4+|DB|} \Rightarrow 4 + |DB| = 10 \Rightarrow |DB| = 6 \text{ cm}

bulunur.

Key Concept

İki üçgende ikişer açının ölçüleri birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir (A.A. Benzerliği). Benzer üçgenlerin kenar uzunlukları arasında sabit bir oran vardır.

Hints

1

İki üçgenin açılarını inceleyerek hangi açıların birbirine eşit olduğunu belirleyin.

2

A açısının her iki üçgende de ortak olduğunu fark edin. Bu durumda ADE ve ACB üçgenleri benzerdir.

3

Benzerlik oranını kurarken aynı açının karşısındaki kenarları birbirine oranlayın:

AD/AC = AE/AB

.

Practice More

Benzerlik oranı ile alanlar arasındaki ilişkiyi pekiştirmek için bu iki üçgenin alanları oranını (

k^2

) hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Benzerlik oranı

k = 4/8 = 1/2

olarak bulunur. Bu, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin ilgili kenarlarının yarısı olduğu anlamına gelir.

AE = 5

ise, bu kenarın karşılık geldiği

AB

kenarı

5 \times 2 = 10

olmalıdır.

AB = 10

ve

AD = 4

olduğundan

|DB| = 10 - 4 = 6

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 17Question →

Bir harita mühendisi, $ABC$ üçgeni şeklindeki bir araziyi, $[AB]$ kenarı üzerindeki $D$ ve $[AC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktalarından geçen doğrusal bir hat ile iki bölgeye ayırmıştır. Yapılan ölçümlerde $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC})$ olduğu ve $ADE$ üçgensel bölgesinin alanının, $BCED$ dörtgensel bölgesinin alanına oranının $\frac{4}{21}$ olduğu belirlenmiştir. Arazide $|AD| + |AE| = 140$ metre ve $|AB| - |AC| = 50$ metre olduğuna göre, $|DB|$ uzunluğu kaç metredir?

70

100

120

140

200

Show answer & explanation

Answer: 140

Answer

140 metre

Verilen açı eşitliği (

m(\widehat{AED}) = m(\widehat{B})

), üçgenlerin antiparallel bir kesimle benzer olduğunu gösterir (

\Delta ADE \sim \Delta ACB

). Alanlar oranı

\frac{4}{25}

olduğundan benzerlik oranı

k=\frac{2}{5}

olur. Bu oran, çapraz kenarlar arasında (

AD

ile

AC

,

AE

ile

AB

) kurulmalıdır. Elde edilen denklem sisteminden

|AB|=200

ve

|AD|=60

bulunur, farkları olan

|DB|=140

doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik ilişkisini ve türünü belirle.

\Delta ADE

ve

\Delta ACB

üçgenlerinde

\widehat{A}

ortak açı ve

m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC})

olduğundan, A-A benzerlik teoremine göre

\Delta ADE \sim \Delta ACB

dir.

İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir ancak açıların sırası kenar oranları için kritiktir (Antiparalellik).

2

Alan oranından benzerlik oranını (

k

) hesapla.

\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{4S}{4S + 21S} = \frac{4}{25}

. Benzerlik oranı

k = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}

tir.

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

). Toplam alan

4+21=25

birimdir.

3

Benzerlik oranını kenar uzunlukları ile ilişkilendir.

\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2}{5}

. Buradan

|AC| = \frac{5}{2}|AD|

ve

|AB| = \frac{5}{2}|AE|

elde edilir.

Benzerlikte eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır:

\widehat{E}

'nin karşısındaki

AD

,

\widehat{B}

'nin karşısındaki

AC

ile orantılıdır.

4

Verilen denklem sistemini kur ve çöz.

|AB| - |AC| = \frac{5}{2}(|AE| - |AD|) = 50 \Rightarrow |AE| - |AD| = 20

. Verilen

|AE| + |AD| = 140

ile birlikte çözüldüğünde:

2|AE| = 160 \Rightarrow |AE|=80

,

|AD|=60

.

İki bilinmeyenli denklem sistemi kullanılarak kenar parçaları bulunur.

5

İstenen uzunluğu hesapla.

|AB| = \frac{5}{2} \cdot 80 = 200

m. İstenen parça

|DB| = |AB| - |AD| = 200 - 60 = 140

m.

Sonuç için bulunan

|AB|

değerinden

|AD|

çıkarılır.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (Antiparalellik)

Hints

1

Üçgenlerde verilen eşit açıları (

m(\widehat{AED}) = m(\widehat{B})

) kullanarak benzerlik kurmaya çalışın. Açıların sırasına dikkat edin.

2

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

). Toplam alanı düşünerek benzerlik oranını (

k

) bulun.

3

Benzerlik oranı

2/5

tir. Ancak

DE

paralel DEĞİLDİR. Bu yüzden

\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2}{5}

eşitliğini kullanıp, verilen toplam ve fark denklemlerini çözün.

Practice More

Benzerlik oranının çevreler oranına eşit olduğu (

k

), ancak alanlar oranının karesine eşit olduğu (

k^2

) durumları pekiştiren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Sinüs alan formülü kullanılarak da oranlar yazılabilir:

\text{Alan}(ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin A

ve

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A

. Taraf tarafa oranlandığında

\frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \frac{4}{25}

bulunur. Benzerlikten gelen

AB = \frac{AE}{k}

ve

AC = \frac{AD}{k}

yerine yazılarak da aynı sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 18Question →

ABC bir üçgendir. $[DE] \parallel [BC]$ olmak üzere; $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretlenmiştir. $|AD| = 2$ cm ve $|DB| = 3$ cm olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $ADE$ üçgeninin alanının $ABC$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

\frac{2}{5}

\frac{4}{25}

\frac{4}{9}

\frac{2}{3}

\frac{9}{25}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{25}$

Answer

İstenen alanların oranı

\frac{4}{25}

olarak bulunur.

Paralellik nedeniyle

ADE

ve

ABC

üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı

|AD|/|AB| = 2/5

'tir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan

(2/5)^2 = 4/25

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Benzerlik durumunu tespit et

[DE] \parallel [BC]

olduğu için

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir (

ADE \sim ABC

).

Paralellikten dolayı yöndeş açılar eşittir, dolayısıyla Açı-Açı benzerliği vardır.

2

Benzerlik oranını (

k

) hesapla

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AD| + |DB|} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}

Benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının oranına eşittir.

|AB|

kenarı

|AD|

ve

|DB|

toplamıdır.

3

Alanlar oranını hesapla

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Key Concept

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

).

Practice More

Benzerlik oranı 1/3 olan iki üçgenin alanları farkı 32 cm² ise, küçük üçgenin alanı kaçtır?

Estimated Time:45s

Question 19Question →

Aşağıdaki şekilde $[AB] \parallel [DE]$ olduğu bilinmektedir. $A, C, D$ noktaları ile $B, C, E$ noktaları kendi aralarında doğrusaldır.

$|AB| = 6\text{ cm}$ , $|DE| = 9\text{ cm}$ ve $|AC| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|CD| = x$ uzunluğu kaç cm'dir?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen geometrik şekilde benzerlik oranı kullanılarak

|CD|

uzunluğu

6\text{ cm}

olarak bulunur.

Verilen şekilde

[AB]

ve

[DE]

doğruları paralel olduğu için

\triangle ABC

ve

\triangle DEC

üçgenleri arasında kelebek benzerliği vardır. Benzerlik oranı

\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

şeklindedir. Aynı oran yan kenarlar için de geçerli olduğundan

\frac{4}{x} = \frac{2}{3}

eşitliğinden

2x = 12

ve buradan

x = 6\text{ cm}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Benzer üçgenleri belirleme

\triangle ABC \sim \triangle DEC

[AB] \parallel [DE]

olduğu için İç Ters (Z kuralı) açılardan dolayı üçgenlerin açıları eştir.

2

Benzerlik oranını kurma

\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|CD|}

Benzer üçgenlerde aynı açının karşısındaki kenarlar orantılıdır.

3

Verilen değerleri yerine yerleştirme

\frac{6}{9} = \frac{4}{x}

|AB|=6, |DE|=9

ve

|AC|=4

değerleri orantıda yerine yazılır.

4

Denklemi çözme

6x = 36 \Rightarrow x = 6

İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen değer hesaplanır.

Key Concept

Kelebek (Kum Saati) Benzerliği

Hints

1

Paralel doğrular arasında kalan üçgenlerde 'Kelebek Benzerliği' kurallarını hatırlayın.

2

Üstteki üçgenin tabanının alttaki üçgenin tabanına oranı, kenarların birbirine oranına eşittir.

3

6

'nın

9

'a oranı ile

4

'ün

x

'e oranı birbirine eşit olmalıdır.

Practice More

Farklı benzerlik oranları kullanarak benzer 'kelebek' soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Sadeleştirme yaparak oranı

2/3

olarak bulup,

2

birime

4\text{ cm}

geliyorsa (2 katı),

3

birime

6\text{ cm}

gelir diyerek pratik yoldan çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 20Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$ 'dir. $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretlenmiş olup $|AD| = 4 \text{ cm}$ , $|DB| = 2 \text{ cm}$ , $|DE| = (x+1) \text{ cm}$ ve $|BC| = (2x-1) \text{ cm}$ bilgileri verilmiştir. Buna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

3

6

7

9

12

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Uzunluğu 9 cm olan seçenek doğrudur.

Verilen paralellik bilgisi doğrultusunda

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı,

|AD|

uzunluğunun tüm

|AB|

uzunluğuna oranı olan

4/6 = 2/3

olarak bulunur. Bu oran tabanlar arasındaki orana (

|DE|/|BC|

) eşitlendiğinde

\frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3}

denklemi kurulur. Buradan

x=5

değeri elde edilir ve

|BC| = 2(5)-1 = 9

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenler arasındaki benzerliği ve benzerlik oranını belirle.

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ve benzerlik oranı

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

'tür.

[DE] \parallel [BC]

olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir ve Açı-Açı benzerlik kuralı geçerlidir.

2

Benzer kenarlar arasındaki orantıyı kur.

\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3}

denklemi elde edilir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak

x

değerini çöz.

3(x+1) = 2(2x-1) \Rightarrow 3x + 3 = 4x - 2 \Rightarrow x = 5

bulunur.

Rasyonel bir denklemi doğrusal denkleme dönüştürmek için içler dışlar çarpımı yapılır.

4

Bulunan

x

değerini

|BC|

ifadesinde yerine koy.

|BC| = 2(5) - 1 = 9 \text{ cm}

olarak hesaplanır.

Soruda istenen değer

|BC|

uzunluğudur.

Key Concept

Temel Benzerlik Teoremi (Thales)

Hints

1

[DE] \parallel [BC]

olduğu için

ADE

ve

ABC

üçgenlerinin benzer olduğunu unutmayın.

2

Benzerlik oranını yazarken

|AD|

uzunluğunu

|AB|

uzunluğuna (yani

4+2

) oranlamanız gerekir.

3

Orantıyı

\frac{4}{6} = \frac{x+1}{2x-1}

şeklinde kurup içler dışlar çarpımı yaparak

x

değerine ulaşabilirsiniz.

Practice More

Benzer üçgenlerde alanların oranının, benzerlik oranının karesine eşit olduğu kuralını içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Thales teoreminin parça-parça oranını (

|AD|/|DB| = |AE|/|EC|

) kullanarak yan kenarlar arasındaki ilişkiyi bulabiliriz ancak tabanlar söz konusu olduğunda mutlaka parça-bütün (

|AD|/|AB|

) oranı kullanılmalıdır.

Estimated Time:1m 30s

Üçgende Benzerlik

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer