Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

Bir fabrikadaki üretim bandında, yarıçapları 44 cm olan üç adet eş dairesel makara, merkezleri bir eşkenar üçgenin köşeleri olacak şekilde birbirine dıştan teğet olarak monte edilmiştir. Bu makaraları dıştan saran ve gevşeklik payı olmayan gergin bir kayışın uzunluğu en az kaç cm'dir?

  1. A
    12+8π12 + 8\pi
  2. B
    24+4π24 + 4\pi
  3. 24+8π24 + 8\piAnswer
  4. D
    24+12π24 + 12\pi
  5. E
    48+8π48 + 8\pi

Answer

Kayışın toplam uzunluğu 24+8π24 + 8\pi cm'dir.
Kayışın uzunluğu, çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruların uzunlukları toplamı ile bir tam çemberin çevresinin toplamına eşittir. Yarıçap r=4r=4 cm olduğundan, düz kısımlar 3×(4+4)=243 \times (4+4) = 24 cm, eğrisel kısımlar ise 2π(4)=8π2\pi(4) = 8\pi cm eder. Toplam uzunluk 24+8π24 + 8\pi cm'dir.

Step-by-Step Solution

1
Makaraların merkezlerini birleştirerek oluşan geometrik şekli ve kenar uzunluklarını belirle.
Merkezler birleştirildiğinde, her bir kenarı 2r=4+4=82r = 4 + 4 = 8 cm olan bir eşkenar üçgen oluşur.
Makaralar birbirine teğet olduğu için merkezler arası mesafe yarıçapların toplamına eşittir.
2
Kayışın düz (doğrusal) kısımlarının toplam uzunluğunu hesapla.
3 adet düz kısım vardır ve her biri merkezler arası mesafeye eşittir. 3×8=243 \times 8 = 24 cm.
Kayışın makaralara değdiği noktalardan çizilen teğetler, merkezler arası doğru parçalarına paralel dikdörtgenler oluşturur.
3
Kayışın eğrisel (yay) kısımlarının toplam açısını ve uzunluğunu hesapla.
Her bir köşedeki yay açısı 360∘−(90∘+90∘+60∘)=120∘360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 120^\circ'dir. Toplam açı 3×120∘=360∘3 \times 120^\circ = 360^\circ (tam çember). Yay uzunluğu 2πr=2π(4)=8π2\pi r = 2\pi(4) = 8\pi cm.
Eşkenar üçgenin iç açısı 60∘60^\circ ve teğetler yarıçapa dik (90∘90^\circ) olduğu için geriye 120∘120^\circ kalır.
4
Düz ve eğrisel kısımları toplayarak sonucu bul.
24+8π24 + 8\pi cm.
Toplam çevre uzunluğu düz parçalar ve yayların toplamıdır.

Key Concept

Teğet Çemberler ve Kayış Problemleri

Hints

1
Makaraların merkezlerini birleştirerek bir eşkenar üçgen oluşturun.
2
Kayışın makaralara değdiği noktalardan merkezlere yarıçaplar çizin; oluşan dikdörtgenleri fark edin.
3
Düz kısımların toplamı üçgenin çevresine, yayların toplamı ise tam bir çemberin çevresine eşittir.

Practice More

Farklı yarıçaplı iki makara etrafına sarılan kayışın uzunluğunu soran bir soru çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic