Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Temel)
aa ve bb birer doğal sayı olmak üzere,
a!=72⋅b!a! = 72 \cdot b!
eşitliğini sağlayan aa değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    9
  2. B
    72
  3. C
    79
  4. 81Answer
  5. E
    90

Answer

Eşitliği sağlayan a değerleri 72 ve 9 olduğundan toplamları 81'dir.
Verilen a!=72⋅b!a! = 72 \cdot b! eşitliği a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72 şeklinde yazılabilir. Bu ifade, aa sayısından geriye doğru ardışık sayıların çarpımının 72 olduğunu gösterir. 72 sayısı iki farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olarak yazılabilir: 1) Sadece 72 (yani 72!/71!72!/71!), buradan a=72a=72 bulunur. 2) 9⋅89 \cdot 8 (yani 9!/7!9!/7!), buradan a=9a=9 bulunur. Bu değerlerin toplamı 72+9=8172 + 9 = 81 dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği oran formunda yaz
a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72
Faktöriyel sadeleştirmesi yaparak ardışık çarpanları görmek için.
2
Kesrin anlamını yorumla
a!b!\frac{a!}{b!} ifadesi, bb'den büyük ve aa'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına eşittir.
Örneğin 5!3!=5⋅4\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 gibi.
3
72 sayısının ardışık çarpanlarını analiz et (Durum 1)
Tek bir sayı olarak düşünülürse: 72=7272 = 72. Bu durumda 72!71!=72\frac{72!}{71!} = 72 olur. Yani a=72,b=71a=72, b=71.
Her sayı kendisinin 1'li ardışık çarpımıdır.
4
72 sayısının ardışık çarpanlarını analiz et (Durum 2)
İki ardışık sayının çarpımı: 9⋅8=729 \cdot 8 = 72. Bu durumda 9!7!=9⋅8=72\frac{9!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72 olur. Yani a=9,b=7a=9, b=7.
Çarpım tablosundan 9⋅8=729 \cdot 8 = 72 olduğu bilinmektedir.
5
Üçlü veya daha fazla ardışık çarpım kontrolü yap
4⋅5⋅6=120>724 \cdot 5 \cdot 6 = 120 > 72 ve 3⋅4⋅5=60<723 \cdot 4 \cdot 5 = 60 < 72. Başka çözüm yoktur.
Ardışık sayıların çarpımı hızla büyüdüğü için başka ihtimal kalmamıştır.
6
Bulunan a değerlerini topla
72+9=8172 + 9 = 81
Soruda a değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Ardışık Çarpanlar

Hints

1
Eşitliği a!b!=72\frac{a!}{b!} = 72 şeklinde düzenleyerek ardışık çarpanları arayın.
2
a!b!\frac{a!}{b!} ifadesi, bb'den büyük aa'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımıdır. 72 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
3
72 sayısı tek başına bir grup olabilir (a=72,b=71a=72, b=71) veya 9⋅89 \cdot 8 şeklinde iki sayının çarpımı olabilir.

Practice More

x!=24⋅y!x! = 24 \cdot y! eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x,y) ikilisi vardır sorusu ile konu pekiştirilebilir.

Alternative Method

Şıklardan gidilerek deneme yapılabilir ancak a değerlerinin toplamı sorulduğu için analitik çözüm daha güvenilirdir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Temel)

More questions from this topic