Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.

s(A)=6s(A) = 6
s(B)=8s(B) = 8
s((A×B)∪(B×A))=92s((A \times B) \cup (B \times A)) = 92

olduğuna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    11
  3. 12Answer
  4. D
    13
  5. E
    14

Answer

Doğru cevap 12 olarak bulunur.
Verilen bilgilerden kartezyen çarpımların eleman sayıları 48 olarak bulunur. Birleşim formülü kullanılarak kartezyen çarpımların kesişiminin eleman sayısı 4 olarak hesaplanır. (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B) özelliği gereği, bu sayı AA ve BB kümelerinin kesişim sayısının karesidir (k2=4k^2=4). Buradan s(A∩B)=2s(A \cap B)=2 bulunur. Son adımda s(A∪B)=6+8−2=12s(A \cup B) = 6+8-2=12 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanın: s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B).
s(A×B)=6⋅8=48s(A \times B) = 6 \cdot 8 = 48 ve s(B×A)=8⋅6=48s(B \times A) = 8 \cdot 6 = 48.
Her iki kartezyen çarpımın eleman sayısı eşittir.
2
Kümelerde birleşim formülünü kartezyen çarpım kümeleri için yazın: s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y).
92=48+48−s((A×B)∩(B×A))92 = 48 + 48 - s((A \times B) \cap (B \times A))
Verilen birleşim değeri ve hesaplanan eleman sayıları ile kesişim kümesinin büyüklüğünü bulmak için.
3
Kartezyen çarpımların kesişim kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
92=96−s((A×B)∩(B×A))⇒s((A×B)∩(B×A))=492 = 96 - s((A \times B) \cap (B \times A)) \Rightarrow s((A \times B) \cap (B \times A)) = 4.
Denklem çözümü.
4
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırlayın: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B).
s((A∩B)×(A∩B))=(s(A∩B))2=4s((A \cap B) \times (A \cap B)) = (s(A \cap B))^2 = 4. Buradan s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2 bulunur.
Kesişim kümesinin eleman sayısına ulaşmak için kritik özellik.
5
A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=6+8−2=12s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 6 + 8 - 2 = 12.
Sonuç istenen değer.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

Hints

1
Önce s(A×B)s(A \times B) ve s(B×A)s(B \times A) değerlerini hesaplayıp, birleşim formülünü (s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)) kullanarak kartezyen çarpımların kesişim sayısını bulun.
2
Bulduğunuz değer, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısıdır. Bu küme, (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B)'ye eşittir.
3
Kartezyen kesişim sayısı 4'tür. Bu sayı, s(A∩B)s(A \cap B)'nin karesidir. Buradan s(A∩B)s(A \cap B)'yi bulup genel birleşim formülünde yerine yazın.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic