Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

Şekilde O merkezli ve yarıçapı 6 cm olan bir çember verilmiştir. [PT ışını çembere T noktasında teğettir. P, K ve O noktaları doğrusaldır ve K noktası çember yayı üzerindedir.

∣PT∣=63|PT| = 6\sqrt{3} cm olduğuna göre; PT doğru parçası, PK doğru parçası ve KT yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. 183−6π18\sqrt{3} - 6\piAnswer
  2. B
    183−2π18\sqrt{3} - 2\pi
  3. C
    6π−936\pi - 9\sqrt{3}
  4. D
    93−3π9\sqrt{3} - 3\pi
  5. E
    363−6π36\sqrt{3} - 6\pi

Answer

Dik üçgenin alanından daire diliminin alanı çıkarılarak sonuç 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi bulunur.
Soruda verilen bölge, OTPOTP dik üçgeninin alanından 60∘60^\circ'lik OTKOTK daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Yarıçap teğete dik olduğu için oluşan 30-60-90 üçgeninden merkez açı 60∘60^\circ bulunur. Üçgenin alanı 18318\sqrt{3}, daire diliminin alanı ise 6π6\pi olduğundan cevap 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi'dir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet özelliğini kullanarak üçgeni tanımla.
Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir (OT⊥PTOT \perp PT). Oluşan △OTP\triangle OTP bir dik üçgendir.
Teğet-yarıçap dikliği geometrik kuraldır.
2
Merkez açıyı (α\alpha) belirle.
△OTP\triangle OTP dik üçgeninde, tan⁡(TOP^)=∣PT∣∣OT∣=636=3\tan(\widehat{TOP}) = \frac{|PT|}{|OT|} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}. Bu durumda TOP^=60∘\widehat{TOP} = 60^\circ olur.
Trigonometrik oranlardan veya 30-60-90 üçgeni özelliğinden açı bulunur.
3
△OTP\triangle OTP üçgeninin alanını hesapla.
Alan(△OTP\triangle OTP) = ∣OT∣⋅∣PT∣2=6⋅632=183\frac{|OT| \cdot |PT|}{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Dik üçgen alan formülü.
4
OTK daire diliminin alanını hesapla.
Alan(Dilim) = πr2⋅α360=π⋅62⋅60360=36π⋅16=6π\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{6} = 6\pi cm2\text{cm}^2.
Daire dilimi alan formülü.
5
Taralı alanı bulmak için çıkarma işlemi yap.
Taralı Alan = Alan(△OTP\triangle OTP) - Alan(Dilim) = 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi.
İstenen bölge, büyük üçgenden daire diliminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Teğet-Yarıçap Dikliği ve Daire Dilimi Alanı

Hints

1
Çemberin merkezinden teğet noktasına (T) çizilen yarıçapın, teğet doğrusuna (PT) dik olduğunu hatırlayın.
2
Oluşan OTP dik üçgeninde kenar uzunluklarını kullanarak O açısının kaç derece olduğunu bulun (∣OT∣=6,∣PT∣=63|OT|=6, |PT|=6\sqrt{3}).
3
Taralı alanı bulmak için OTP üçgeninin alanından, O merkezli daire diliminin alanını çıkarmanız gerekir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic