Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A={x∈Z:x2≤9}A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 \le 9\}
B={x∈Z:2x≤32 ve x>0}B = \{x \in \mathbb{Z} : 2^x \le 32 \text{ ve } x > 0\}

Buna göre, (A×B)∖(B×A)(A \times B) \setminus (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    16
  3. 26Answer
  4. D
    35
  5. E
    49

Answer

Kümenin eleman sayısı 26'dır.
İstenen küme (A×B)∖(B×A)(A \times B) \setminus (B \times A) dır. Bu kümenin eleman sayısı, A×BA \times B kümesinin eleman sayısından, her iki kümenin kesişimi olan (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur. s(A)=7s(A)=7, s(B)=5s(B)=5 ve s(A∩B)=3s(A \cap B)=3 olduğundan; 35−9=2635 - 9 = 26 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
x2≤9x^2 \le 9 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar: {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}. Yani s(A)=7s(A) = 7.
Karesi 9'dan küçük veya eşit olan tam sayıları bulmak için.
2
B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
2x≤322^x \le 32 ve x>0x > 0 koşulunu sağlayan tam sayılar: {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}. Yani s(B)=5s(B) = 5.
2'nin kuvveti 32'den küçük eşit olan pozitif tam sayıları bulmak için.
3
A ve B kümelerinin kesişimini (A∩BA \cap B) bul.
Ortak elemanlar: {1,2,3}\{1, 2, 3\}. Yani s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3.
Kartezyen fark formülünde kesişim kümesinin eleman sayısı gereklidir.
4
İstenen kümenin eleman sayısını formül veya mantık yoluyla hesapla.
s((A×B)∖(B×A))=s(A×B)−s((A∩B)×(A∩B))=(7×5)−(3×3)=35−9=26s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \cap B) \times (A \cap B)) = (7 \times 5) - (3 \times 3) = 35 - 9 = 26.
Kümeler arasındaki fark işleminde, ortak olan (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kısmı çıkarılır.

Key Concept

Kartezyen çarpımda fark işlemi: (A×B)∖(B×A)(A \times B) \setminus (B \times A) kümesi, A×BA \times B kümesinden, her iki çarpımda da ortak olan (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kısmının çıkarılmasıyla bulunur.

Hints

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça yazınız. A kümesinde negatif tam sayıların da olabileceğine dikkat ediniz.
2
(A×B)(A \times B) ve (B×A)(B \times A) kümelerinin ortak elemanlarının, sadece (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesinde olduğunu hatırlayınız.
3
Sorunun çözümü için s(A)⋅s(B)−s(A∩B)2s(A) \cdot s(B) - s(A \cap B)^2 işlemini uygulayınız.

Practice More

Benzer bir soruyu, kümelerden biri diğerinin alt kümesi olacak şekilde (A⊂BA \subset B) kurgulayarak fark işleminin nasıl sadeleştiğini inceleyiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic