Examkin

Question

Difficulty: MediumDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Ölçüleri m(BAC^)=90∘m(\widehat{BAC}) = 90^\circ ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olan bir ABCABC dik üçgeni çiziliyor. Bu üçgende AA köşesinden [BC][BC] hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı HH, hipotenüse ait [AD][AD] kenarortayının hipotenüsü kestiği nokta ise DD olarak işaretleniyor.

∣AB∣=12|AB| = 12 cm olduğuna göre, HH ve DD noktaları arasındaki uzaklık (∣HD∣|HD|) kaç cm'dir?

  1. A
    12
  2. B
    636\sqrt{3}
  3. 6Answer
  4. D
    18
  5. E
    4

Answer

H ve D noktaları arasındaki uzaklık 6 cm'dir.
Verilen ABCABC üçgeninde hipotenüs uzunluğu 24 cm olarak hesaplanır. Hipotenüse ait kenarortay noktası DD, BB köşesinden 12 cm uzaklıktadır. AA köşesinden inen yüksekliğin ayağı olan HH noktası ise ABHABH (30−60−9030-60-90) üçgeni gereği BB köşesinden 6 cm uzaklıktadır. Bu durumda iki nokta arasındaki mesafe olan 6 cm elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninin bilinmeyen açılarını ve kenar uzunluklarını belirleyin.
m(B^)=60∘m(\widehat{B}) = 60^\circ ve ∣BC∣=2×12=24|BC| = 2 \times 12 = 24 cm.
Bir dik üçgende açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan BB açısı 60∘60^\circ olur. 30−60−9030-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30∘30^\circ karşısındaki kenarın iki katıdır.
2
Kenarortay noktasının (DD) konumunu tespit edin.
∣BD∣=∣DC∣=12|BD| = |DC| = 12 cm.
Kenarortay, hipotenüsü iki eşit parçaya böler.
3
ABHABH dik üçgeninde yüksekliğin ayağı olan HH noktasının konumunu hesaplayın.
∣BH∣=∣AB∣/2=6|BH| = |AB| / 2 = 6 cm.
ABHABH üçgeni de bir 30−60−9030-60-90 üçgenidir (m(BAH^)=30∘m(\widehat{BAH})=30^\circ); 30∘30^\circ karşısındaki ∣BH∣|BH| kenarı hipotenüs ∣AB∣|AB|'nin yarısıdır.
4
HH ve DD noktaları arasındaki farkı bulun.
∣HD∣=∣BD∣−∣BH∣=12−6=6|HD| = |BD| - |BH| = 12 - 6 = 6 cm.
B,HB, H ve DD noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan aralarındaki mesafe farkları ile bulunur.

Key Concept

Dik üçgende 30-60-90 özel açılı üçgen bağıntıları ile muhteşem üçlü ve yükseklik özellikleri.

Hints

1
ABCABC üçgeninin iç açılarından faydalanarak BB açısının kaç derece olduğunu bulun.
2
30-60-90 üçgeni kuralını kullanarak önce hipotenüsü (∣BC∣|BC|), ardından ABHABH üçgeninde ∣BH∣|BH| uzunluğunu hesaplayın.
3
∣BC∣|BC|'nin tam orta noktasının DD olduğunu ve BB köşesine uzaklığının ∣BC∣/2|BC|/2 olduğunu unutmayın. ∣HD∣=∣BD∣−∣BH∣|HD| = |BD| - |BH| işlemini yapın.

Practice More

Aynı soruyu ∣AB∣|AB| yerine ∣AC∣|AC| kenarı verildiğinde tekrar çözerek özel üçgenlerdeki oran hakimiyetinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

∣AC∣=123|AC| = 12\sqrt{3} cm olarak bulunur. AHCAHC dik üçgeninde ∣HC∣=∣AC∣⋅cos⁡(30∘)=123⋅(3/2)=18|HC| = |AC| \cdot \cos(30^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) = 18 cm hesaplanır. ∣CD∣=12|CD| = 12 cm olduğundan, ∣HD∣=∣HC∣−∣CD∣=18−12=6|HD| = |HC| - |CD| = 18 - 12 = 6 cm sonucuna varılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

More questions from this topic