Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A={x∈Z:4x+20x+1∈Z} A = \left\{ x \in \mathbb{Z} : \frac{4x + 20}{x + 1} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

  1. A
    -36
  2. -10Answer
  3. C
    0
  4. D
    10
  5. E
    26

Answer

Kümenin elemanlarının toplamı -10'dur.
İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. Polinom bölmesi yapılarak ifade 4+16x+14 + \frac{16}{x+1} haline getirilir. Buradan x+1x+1'in 16'nın tam sayı bölenleri olması gerektiği anlaşılır. 16'nın 10 adet tam sayı böleni vardır (negatifler dahil). Bu bölenlerin her birinden 1 çıkarılarak xx değerleri bulunur ve toplandığında -10 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rasyonel ifadeyi tam sayılı kesre dönüştürerek analiz et.
4x+20x+1=4(x+1)+16x+1=4+16x+1\frac{4x + 20}{x + 1} = \frac{4(x + 1) + 16}{x + 1} = 4 + \frac{16}{x + 1}
Bu dönüşüm, xx'in hangi değerleri alabileceğini bulmak için (x+1)(x+1) ifadesinin 16'nın böleni olması gerektiğini gösterir.
2
16 sayısının tam sayı bölenlerini belirle.
Bölenler kümesi: {−16,−8,−4,−2,−1,1,2,4,8,16}\{-16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16\}
Tam sayılar kümesinde çalıştığımız için negatif bölenler de unutulmamalıdır.
3
Her bir bölen için uygun xx değerlerini hesapla (x+1=bo¨len⇒x=bo¨len−1x+1 = \text{bölen} \Rightarrow x = \text{bölen} - 1).
xx değerleri: {−17,−9,−5,−3,−2,0,1,3,7,15}\{-17, -9, -5, -3, -2, 0, 1, 3, 7, 15\}
Bölenlerin her birinden 1 çıkarılarak kümenin elemanları bulunur.
4
Bulunan xx değerlerini topla.
(−17−9−5−3−2)+(0+1+3+7+15)=−36+26=−10(-17-9-5-3-2) + (0+1+3+7+15) = -36 + 26 = -10
Tüm negatif ve pozitif değerlerin toplamı sonuçtur.

Key Concept

Tam sayılarda bölünebilme ve küme oluşturma (Ortak özellik yöntemi)

Hints

1
Verilen kesirli ifadeyi 4+16x+14 + \frac{16}{x+1} şeklinde yazmayı deneyin.
2
İfadenin tam sayı olması için (x+1)(x+1) ifadesinin 16 sayısını tam bölmesi gerekir.
3
Tam sayılar kümesinde negatif bölenleri de unutmayın. 16'nın bölenlerini (dd) bulup x=d−1x = d - 1 eşitliğini kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla B={x∈N:12x−2∈Z}B = \{x \in \mathbb{N} : \frac{12}{x-2} \in \mathbb{Z}\} kümesinin eleman toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Bölenlerin toplamı (∑d\sum d) 0 olduğundan, her bir xx değeri için x=d−1x = d - 1 yazıp toplarsak: ∑x=∑(d−1)=∑d−∑1=0−(10×1)=−10\sum x = \sum (d - 1) = \sum d - \sum 1 = 0 - (10 \times 1) = -10 sonucuna daha hızlı ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic