Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Kavramı ve Gösterimi

Bir belediye, iki farklı caddede yapılacak altyapı çalışması için, bakım yapılacak noktaları kapı numaralarına göre belirlemiştir.

A Caddesi'ndeki bakım noktaları kümesi:
A={x∣15<x≤65,  x=4k,  k∈Z} A = \{x \mid 15 < x \le 65, \; x = 4k, \; k \in \mathbb{Z} \}
B Caddesi'ndeki bakım noktaları kümesi:
B={x∣40≤x<90,  x=6m,  m∈Z} B = \{x \mid 40 \le x < 90, \; x = 6m, \; m \in \mathbb{Z} \}

şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre, bu iki caddede bakım yapılacak noktaların birleşim kümesi olan A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    18
  2. 19Answer
  3. C
    2
  4. D
    21
  5. E
    23

Answer

Hesaplamalar sonucunda birleşim kümesinin eleman sayısı 19 olarak bulunur.
İstenen değer s(A∪B)s(A \cup B)'dir. Bu değer s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü ile bulunur. A kümesi 13 elemanlı, B kümesi 8 elemanlıdır. Her iki kümenin ortak elemanları (kesişim) 48 ve 60 sayılarıdır (2 eleman). Formül uygulandığında 13+8−2=1913 + 8 - 2 = 19 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle
A kümesi 15'ten büyük, 65'e eşit veya küçük 4'ün katlarıdır. A={16,20,24,...,64} A = \{16, 20, 24, ..., 64\} . Terim sayısı formülünden: 64−164+1=13\frac{64-16}{4} + 1 = 13 eleman.
Ortak özellik yöntemiyle verilen kümenin eleman sayısını bulmak için aralıktaki şartı sağlayan sayılar tespit edilir.
2
B kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle
B kümesi 40'tan büyük veya eşit, 90'dan küçük 6'nın katlarıdır. B={42,48,54,...,84} B = \{42, 48, 54, ..., 84\} . Terim sayısı formülünden: 84−426+1=8\frac{84-42}{6} + 1 = 8 eleman.
B kümesinin liste yöntemiyle elemanlarının analizi.
3
Kesişim kümesi A∩BA \cap B'yi bul
Kesişim, her iki aralığın ortak bölgesi olan 40≤x≤6540 \le x \le 65 aralığında, hem 4'ün hem 6'nın katı (yani OKEK(4,6)=12'nin katı) olan sayılardır. Bu aralıktaki 12'nin katları: {48,60} \{48, 60\} . s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2.
Birleşim formülünü uygulayabilmek için ortak elemanların sayısının bulunması gerekir.
4
Birleşim kümesi formülünü uygula
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=13+8−2=19 s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 13 + 8 - 2 = 19
Kümelerin birleşimi hesaplanırken ortak elemanlar iki kez sayılmamalıdır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Eleman Sayısı Hesabı

Hints

1
Önce her iki kümenin eleman sayılarını (s(A)s(A) ve s(B)s(B)) terim sayısı formülünü kullanarak ayrı ayrı bulunuz.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için sadece s(A)+s(B)s(A) + s(B) yapmak yeterli değildir; ortak olan elemanları iki kere saymış olursunuz.
3
Ortak elemanlar hem 4'ün hem de 6'nın katı olan sayılardır (yani 12'nin katları). Kesişim kümesini bulup şu formülü kullanın: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic