Examkin

Question

Difficulty: HardDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Şekildeki ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınıyor. m(DAC^)=m(ABC^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ABC}), ∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣AC∣=16|AC| = 16 cm olduğuna göre, ∣BD∣∣DC∣\frac{|BD|}{|DC|} oranı kaçtır?

  1. 916\frac{9}{16}Answer
  2. B
    34\frac{3}{4}
  3. C
    1
  4. D
    43\frac{4}{3}
  5. E
    169\frac{16}{9}

Answer

İstenen oran 9/16'dır.
Soruda verilen açı eşitliği, ADAD doğrusunun hipotenüse ait yükseklik olduğunu gizli bir şekilde ifade eder. Bir dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların oranı (∣BD∣/∣DC∣|BD|/|DC|), bu parçalara komşu olan dik kenarların karelerinin oranına (∣AB∣2/∣AC∣2|AB|^2/|AC|^2) eşittir. Bu özellik kullanılarak (12/16)2=(3/4)2=9/16(12/16)^2 = (3/4)^2 = 9/16 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Açı ilişkilerini analiz et.
m(DAC^)+m(C^)=90∘m(\widehat{DAC}) + m(\widehat{C}) = 90^\circ olduğunu gör.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ kuralından, m(B^)+m(C^)=90∘m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 90^\circ olduğu bilinmektedir. Verilen m(DAC^)=m(B^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{B}) eşitliği kullanıldığında, △ADC\triangle ADC içinde DD açısının 90∘90^\circ olduğu, yani [AD]⊥[BC][AD] \perp [BC] olduğu anlaşılır.
2
Öklid bağıntılarını yaz.
∣AB∣2=∣BD∣⋅∣BC∣|AB|^2 = |BD| \cdot |BC| ve ∣AC∣2=∣DC∣⋅∣BC∣|AC|^2 = |DC| \cdot |BC|.
Dik üçgende hipotenüse indirilen dikme (yükseklik) için Öklid dik kenar bağıntıları geçerlidir.
3
Oranlama işlemini yap.
∣BD∣∣DC∣=∣AB∣2∣AC∣2\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|^2}{|AC|^2}
Her iki denklemi taraf tarafa oranlayarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu sadeleştiririz.
4
Sayısal değerleri yerine koy ve hesapla.
122162=144256=916\frac{12^2}{16^2} = \frac{144}{256} = \frac{9}{16}
Verilen uzunlukların kareleri alınıp sadeleştirme işlemi yapılır (her iki taraf 16'ya bölünür).

Key Concept

Dik Üçgende Öklid Bağıntıları ve Açı Özellikleri

Hints

1
Üçgenin açılarının toplamının 180∘180^\circ olduğunu hatırlayarak, m(ADC^)m(\widehat{ADC}) açısının kaç derece olduğunu bulmaya çalışın.
2
Bulduğunuz açı değeri DD noktasından indirilen doğrunun yükseklik olduğunu gösterir. Dik üçgende hipotenüse inen dikme için Öklid bağıntılarını hatırlayın.
3
Öklid'in dik kenar bağıntılarına göre, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafına düşen parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir (c2=p⋅ac^2 = p \cdot a). Bunu her iki kenar için yazıp oranlayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, öklid bağıntısında yükseklik formülü (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) kullanılarak yüksekliğin uzunluğunun sorulduğu bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak çözüm: △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA ve △ACD∼△BCA\triangle ACD \sim \triangle BCA benzerliklerini kullanarak da oran bulunabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

More questions from this topic