Examkin

Question

Difficulty: HardÜslü İfadeler
(x+2)x2+x−2=1(x+2)^{x^2+x-2} = 1
denklemini sağlayan birbirinden farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -5
  2. B
    -4
  3. -3Answer
  4. D
    -1
  5. E
    0

Answer

Doğru cevap, geçerli köklerin toplamı olan -3 değeridir.
Verilen denklemde sonucun 1 olması için üç durum incelenmelidir: tabanın 1 olması, tabanın -1 olup üssün çift olması ve üssün 0 olup tabanın 0 olmaması. Bu incelemeler sonucunda x=−1x=-1, x=−3x=-3 ve x=1x=1 değerleri geçerli bulunurken, x=−2x=-2 değeri 000^0 belirsizliği yarattığı için elenir. Geçerli değerlerin toplamı −3-3'tür.

Step-by-Step Solution

1
Üslü bir ifadenin sonucunun 1 olması için gereken 3 temel durumu belirle.
Durumlar: 1) Taban = 1, 2) Taban = -1 (ve Üs Çift), 3) Üs = 0 (ve Taban ≠ 0).
an=1a^n = 1 denkleminin çözüm mantığı bu üç duruma dayanır.
2
1. Durumu (Taban = 1) incele.
x+2=1⇒x=−1x+2 = 1 \Rightarrow x = -1. Bu değer her zaman çözüm kümesindedir.
11'in tüm reel kuvvetleri 1'dir.
3
2. Durumu (Taban = -1 ve Üs = Çift) incele.
x+2=−1⇒x=−3x+2 = -1 \Rightarrow x = -3. Üssü kontrol et: (−3)2+(−3)−2=9−3−2=4(-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (Çift sayı).
Taban -1 olduğunda sonucun +1 çıkması için üs çift sayı olmalıdır. x=−3x=-3 bu şartı sağlar.
4
3. Durumu (Üs = 0 ve Taban ≠ 0) incele.
x2+x−2=0⇒(x+2)(x−1)=0x^2+x-2 = 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) = 0. Kökler x=−2x=-2 ve x=1x=1. Taban kontrolü: x=1x=1 için taban 3≠03 \neq 0 (Geçerli). x=−2x=-2 için taban 00 (Tanımsız).
x=−2x=-2 değeri 000^0 belirsizliği oluşturduğu için çözüm kümesine alınamaz. Sadece x=1x=1 alınır.
5
Bulunan geçerli değerleri topla.
Geçerli değerler: {−1,−3,1}\{-1, -3, 1\}. Toplam: (−1)+(−3)+1=−3(-1) + (-3) + 1 = -3.
Soruda tüm farklı xx değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Üslü İfadelerde Denklem Çözümü ve 000^0 Belirsizliği

Hints

1
ab=1a^b = 1 eşitliğinin sağlanması için 3 farklı durumu kontrol etmelisiniz: a=1a=1, a=−1a=-1 ve b=0b=0.
2
Taban -1 olduğunda üssün çift olup olmadığını; Üs 0 olduğunda tabanın 0 olup olmadığını (tanımsızlık) mutlaka kontrol edin.
3
x2+x−2=0x^2+x-2=0 denkleminin köklerinden biri olan x=−2x=-2, taban ifadesi (x+2)(x+2)'yi sıfır yapar. 000^0 belirsizliğine dikkat edin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üslü İfadeler

More questions from this topic