Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki koşullarla tanımlanmıştır:

A={x∈Z∣∣2x−5∣≤13} A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |2x - 5| \le 13 \}
B={x∈Z∣∣x+2∣>3} B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x + 2| > 3 \}

Buna göre, AA kümesinde bulunup BB kümesinde bulunmayan elemanların sayısı (s(A∖B)s(A \setminus B)) kaçtır?

  1. A
    5
  2. 6Answer
  3. C
    7
  4. D
    8
  5. E
    14

Answer

6
A kümesi [-4, 9] kapalı aralığındaki tam sayılardır. B kümesi (-∞, -5) ve (1, ∞) aralıklarındaki tam sayılardır. A fark B kümesi, A'nın içinde olup B'nin içinde olmayan elemanlardır; bu da B'nin tümleyeni olan [-5, 1] aralığı ile A'nın kesişimidir. Kesişim [-4, 1] aralığıdır ve bu aralıkta {-4, -3, -2, -1, 0, 1} olmak üzere 6 tam sayı bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için eşitsizliği çöz.
∣2x−5∣≤13  ⟹  −13≤2x−5≤13  ⟹  −8≤2x≤18  ⟹  −4≤x≤9|2x - 5| \le 13 \implies -13 \le 2x - 5 \le 13 \implies -8 \le 2x \le 18 \implies -4 \le x \le 9. Yani A={−4,−3,…,9}A = \{-4, -3, \dots, 9\}.
Mutlak değerli eşitsizlik ∣u∣≤a  ⟺  −a≤u≤a|u| \le a \iff -a \le u \le a kuralı uygulanır.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek için eşitsizliği çöz.
∣x+2∣>3  ⟹  x+2>3 veya x+2<−3  ⟹  x>1 veya x<−5|x + 2| > 3 \implies x + 2 > 3 \text{ veya } x + 2 < -3 \implies x > 1 \text{ veya } x < -5.
Mutlak değerli eşitsizlik ∣u∣>a  ⟺  u>a veya u<−a|u| > a \iff u > a \text{ veya } u < -a kuralı uygulanır.
3
A∖BA \setminus B kümesini bulmak için AA'da olup BB'de olmayan (yani B′B' kümesindeki) elemanları belirle.
x∈Ax \in A ve x∉Bx \notin B olmalıdır. x∉B  ⟹  ∣x+2∣≤3  ⟹  −3≤x+2≤3  ⟹  −5≤x≤1x \notin B \implies |x + 2| \le 3 \implies -3 \le x + 2 \le 3 \implies -5 \le x \le 1.
Fark kümesi tanımı gereği, elemanlar A kümesinde olmalı ancak B kümesinin koşulunu sağlamamalıdır.
4
Her iki koşulu da sağlayan tam sayıların kesişimini al ve say.
A=[−4,9]A = [-4, 9] ve B′=[−5,1]B' = [-5, 1] aralıklarının kesişimi [−4,1][-4, 1] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar: {−4,−3,−2,−1,0,1}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}. Toplam eleman sayısı 6'dır.
İki aralığın ortak elemanları çözüm kümesini oluşturur.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Küme İşlemleri

Hints

1
Önce AA kümesinin elemanlarını belirleyen eşitsizliği çözerek aralığı bulunuz.
2
A∖BA \setminus B kümesi, AA kümesinin elemanlarından BB kümesine dahil OLANLARIN çıkarılmasıyla elde edilir. Yani AA ve BB'nin tümleyeninin kesişimine bakmalısınız.
3
BB'nin tümleyeni ∣x+2∣≤3|x+2| \le 3 eşitsizliğidir. Bu aralık ile AA'nın aralığının ortak tam sayılarını sayınız.

Practice More

Benzer mantıkla, iki mutlak değerli eşitsizliğin birleşiminin tam sayı eleman sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde A kümesini mavi, B kümesini kırmızı ile çizerek, sadece mavi olup kırmızı olmayan bölgeyi görsel olarak tespit edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic