Examkin

Question

Difficulty: Very hardKüme Kavramı ve Gösterimi

A={∅,1,{1},{1,2}}A = \{ \emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\} \} kümesi veriliyor.

P(A)P(A), AA kümesinin kuvvet kümesi (tüm alt kümelerinin kümesi) olduğuna göre; A∩P(A)A \cap P(A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    16

Answer

A ve P(A) kümelerinin kesişimi 2 elemanlıdır.
Kesişim kümesinin eleman sayısı 2'dir. Bu elemanlar ∅\emptyset ve {1}\{1\}'dir. ∅\emptyset hem eleman hem de alt kümedir. {1}\{1\} hem elemandır hem de içerdiği '1' elemanı A'da olduğu için bir alt kümedir. Diğer elemanlar bu şartı sağlamaz.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını ve P(A) kümesinin tanımını analiz et.
A = {∅, 1, {1}, {1, 2}}. P(A), A'nın alt kümelerinden oluşur. Bir x nesnesinin P(A)'da olması için x ⊆ A (x, A'nın alt kümesi) olmalıdır.
Kesişim kümesini bulmak için hem A'nın elemanı olan hem de A'nın alt kümesi olan nesneleri belirlememiz gerekir.
2
A kümesinin her bir elemanının aynı zamanda A'nın bir alt kümesi olup olmadığını (yani P(A)'nın elemanı olup olmadığını) kontrol et.
Kontrol edilecek elemanlar: ∅, 1, {1}, {1, 2}.
A ∩ P(A) kümesi, A'nın elemanları arasından seçilecektir.
3
1. eleman olan boş kümeyi (∅) kontrol et.
∅ ∈ A (verilmiş). Boş küme her kümenin alt kümesidir (∅ ⊆ A), dolayısıyla ∅ ∈ P(A). SONUÇ: ∅ kesişim kümesindedir.
Boş kümenin özelliklerini uygula.
4
2. eleman olan '1' sayısını kontrol et.
1 ∈ A. Ancak '1' bir küme değildir (bu bağlamda eleman), dolayısıyla alt küme olamaz. SONUÇ: 1 kesişim kümesinde değildir.
Eleman ile küme arasındaki farkı gözet.
5
3. eleman olan '{1}' kümesini kontrol et.
{1} ∈ A. {1} ⊆ A olması için, içerdiği elemanın (yani 1'in) A'da olması gerekir. 1 ∈ A olduğu için {1} ⊆ A'dır. SONUÇ: {1} kesişim kümesindedir.
Alt küme tanımını (x ∈ X ⇒ x ∈ A) uygula.
6
4. eleman olan '{1, 2}' kümesini kontrol et.
{1, 2} ∈ A. {1, 2} ⊆ A olması için, 1 ∈ A VE 2 ∈ A olmalıdır. 1 ∈ A doğru, ancak 2 ∉ A (2 tek başına eleman değil). Dolayısıyla {1, 2} ⊈ A. SONUÇ: {1, 2} kesişim kümesinde değildir.
En kritik ayrım noktası: Bir kümenin eleman olarak bulunması, içindeki sayıların da eleman olduğu anlamına gelmez.

Key Concept

Bir kümenin elemanı olmak (∈\in) ile alt kümesi olmak (⊆\subseteq) farklı kavramlardır. A∩P(A)A \cap P(A) kümesi, A'nın, aynı zamanda A'nın alt kümesi olma özelliğini taşıyan elemanlarını içerir.

Hints

1
Bir xx nesnesinin A∩P(A)A \cap P(A) kümesinde olması için iki şartı sağlaması gerekir: 1) x∈Ax \in A olmalı, 2) x∈P(A)x \in P(A) yani x⊆Ax \subseteq A olmalı.
2
A kümesinin 4 elemanını tek tek test edin: ∅\emptyset, 11, {1}\{1\}, {1,2}\{1, 2\}. Hangileri aynı zamanda A'nın bir alt kümesidir?
3
Bir kümenin (KK) A'nın alt kümesi olması için, KK'nın içindeki TÜM elemanların A'da tek başına bulunması gerekir. Özellikle {1,2}\{1, 2\} için 2'nin A'da olup olmadığına dikkat edin.

Practice More

İç içe geçmiş küme notasyonları (örneğin {∅,{∅}}\{ \emptyset, \{\emptyset\} \}) içeren benzer sorularla pratik yapın.

Alternative Method

Venn şeması çizerek veya eleman listeleme yöntemiyle A ve P(A) kümelerinin açık hallerini yazıp ortak olanları işaretleyebilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Küme Kavramı ve Gösterimi

More questions from this topic