Examkin

Question

Difficulty: MediumÇember ve Daire

Yarıçapı 1212 cm olan daire biçimindeki bir kağıt, bir kiriş boyunca şekildeki gibi katlanıyor. Katlama sonucunda, daire yayının en uç noktası dairenin merkezi olan OO noktası ile çakışmaktadır. Buna göre, katlanan bu daire parçasının (daire kesmesinin) alanı kaç cm²'dir?

  1. A
    24π−18324\pi - 18\sqrt{3}
  2. B
    36π−24336\pi - 24\sqrt{3}
  3. 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}Answer
  4. D
    48π−24348\pi - 24\sqrt{3}
  5. E
    60π−36360\pi - 36\sqrt{3}

Answer

Katlanan parçanın alanı 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm²'dir.
Katlanan yayın daire merkezine değmesi, katlama çizgisinin (kirişin) merkeze olan uzaklığının yarıçapın yarısı (r/2r/2) olduğunu gösterir. Yarıçap 1212 cm olduğundan kirişin merkeze uzaklığı 66 cm'dir. Bu durumda oluşan dik üçgende hipotenüs 1212, dik kenar 66 olduğundan merkez açı 2×60∘=120∘2 \times 60^\circ = 120^\circ bulunur. İstenen alan, 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanından (48π48\pi), ilgili ikizkenar üçgenin alanının (36336\sqrt{3}) çıkarılmasıyla 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Katlama geometrisini analiz et
Katlanan yayın tepe noktası merkeze değdiği için, kirişin merkeze olan uzaklığı yarıçapın yarısıdır: h=r/2=12/2=6h = r/2 = 12/2 = 6 cm.
Katlama simetrisinden dolayı, yayın tepe noktasının kirişe uzaklığı ile merkezin kirişe uzaklığı eşittir.
2
Merkez açıyı hesapla
Merkezden kirişe inilen dikme, yarıçap ve kiriş ucu arasında oluşan dik üçgende cos⁡(α)=6/12=1/2\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2 olduğundan yarı açı α=60∘\alpha = 60^\circ, toplam merkez açı 120∘120^\circ olur.
Daire diliminin alanını bulmak için merkez açının bilinmesi gerekir.
3
Daire diliminin alanını hesapla
Alan = πr2⋅120360=144π⋅13=48π\pi r^2 \cdot \frac{120}{360} = 144\pi \cdot \frac{1}{3} = 48\pi cm².
Daire kesmesinin alanı, daire dilimi alanından üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.
4
Üçgenin alanını hesapla
Kiriş uzunluğu 2⋅12⋅sin⁡(60∘)=1232 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12\sqrt{3} cm. Üçgen Alanı = 12⋅123⋅6=363\frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3} cm².
Merkez açısı 120∘120^\circ olan ikizkenar üçgenin alanı.
5
Sonucu bul
Kesme Alanı = Dilim Alanı - Üçgen Alanı = 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm².
Boyalı bölge bir daire kesmesidir.

Key Concept

Bir dairede kiriş boyunca katlama yapıldığında yay merkeze değiyorsa, kirişin merkeze uzaklığı yarıçapın yarısıdır ve merkez açı 120∘120^\circ olur.

Hints

1
Kağıt katlandığında yayın merkeze değmesi, kirişin merkeze olan uzaklığı hakkında size ne söyler? Şekli açtığınızı düşünün.
2
Kirişin merkeze olan uzaklığı yarıçapın yarısıdır (r/2r/2). Bu bilgiyi kullanarak merkezde oluşan üçgenin açılarını bulun.
3
Merkezden kirişe dik indiğinizde oluşan dik üçgen bir 30-60-90 üçgenidir. Merkez açı 120∘120^\circ olacaktır. Daire kesmesinin alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Practice More

Yarıçapı verilen bir dairede, 60∘60^\circ'lik yayı gören kirişin ayırdığı parçanın alanını hesaplayınız.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic